\quad\quad 首先给出分数阶 𝑝-Laplacian 的 Neumann 问题 -\Delta_{\Omega, p}^{s} u=f 的弱解定义. 设 f \in L^2(\Omega)，称 u \in W^{s,p}(\Omega) 为 -\Delta_{\Omega, p}^{s} u(x)=f(x), \ x \in \Omega 的弱解，当且仅当对任意 \varphi \in W^{s, p}(\Omega) \cap L^{2}(\Omega) 都有 \frac{1}{2} \int_{\Omega} \int_{\Omega} \frac{1}{|x-y|^{N+sp}}|u(y)-u(x)|^{p-2}(u(y)-u(x))(\varphi(y)-\varphi(x)) \mathrm{d} y\mathrm{d} x =\int_{\Omega} f(x) \varphi(x) \mathrm{d} x, 我们的目标是研究演化问题 \begin{array}{ll} u_{t}(t, x)=\Delta_{\Omega, p}^{s} u(t, x), & (x,t)\in(0, T) \times \Omega, \\[.8ex] u(0, x)=u_{0}(x), & x \in \Omega, \end{array} 给定 u_0 \in L^2(\Omega)，称 u 为上述演化问题在 [0,T] 中的解，当且仅当 u \in W^{1,1}(0,T;L^2(\Omega))，u(0,\cdot)=u_0 且对任意 \varphi \in W^{s, p}(\Omega) \cap L^{2}(\Omega) 都有 \frac{1}{2} \int_{\Omega} \int_{\Omega} \frac{1}{|x-y|^{N+sp}}|u(t,y)-u(t,x)|^{p-2}(u(t,y)-u(t,x))(\varphi(y)-\varphi(x)) \mathrm{d} y\mathrm{d} x =-\int_{\Omega} u_t(t,x) \varphi(x) \mathrm{d} x. \quad\quad本文中研究 1<p<+\infty 的情形. 定义能量泛函 \mathcal{N}_{p}^{s}: L^{2}(\Omega) \rightarrow[0, \infty)，它由 \mathcal{N}_{p}^{s}(u)=\left\{\begin{array}{ll} \displaystyle\frac{1}{2 p} \int_{\Omega} \int_{\Omega} \frac{1}{|x-y|^{N+s p}}|u(y)-u(x)|^{p} \mathrm{d} x \mathrm{d} y & ,u \in W^{s, p}(\Omega) \cap L^{2}(\Omega), \\ +\infty & , u \in L^{2}(\Omega) \backslash W^{s, p}(\Omega), \end{array}\right.给出，它是凸的（利用 t \mapsto |t|^p 的凸性）且在 L^2(\Omega) 中是下半连续的（利用 Fatou 引理）. 再定义算子 N_{p,s} 的图. 记 (u,v) \in G(N_{p,s}) 当且仅当 u,v \in L^2(\Omega) , u \in W^{s,p}(\Omega) 且 u 是 -\Delta_{\Omega, p}^{s} u(x)=v(x), x \in \Omega 的弱解. 为证明演化问题解的存在唯一性，只需分别验证 N_{p,s} 在是 L^2(\Omega) 上 m-完全增生的，D(N_{p,s}) 在 L^2(\Omega) 中稠密，以及 G(N_{p,s}) = \partial \mathcal{N}_{p}^{s}.\quad\quad首先证明 N_{p,s} 在是 L^2(\Omega) 上 m-完全增生的. 取 (u_1,v_1), (u_2,v_2) \in G(N_{p,s}),\ q \in \mathbf{P}_0，由定义可知 u_1,u_2 \in W^{s,p}(\Omega)，从而 q(u_1-u_2) \in W^{s,p}(\Omega) \cap L^{\infty}(\Omega)，取 q(u_1-u_2) 为测试函数便有 \begin{aligned} &\int_{\Omega}\left(v_{1}(x)-v_{2}(x)\right) q\left(u_{1}(x)-u_{2}(x)\right) \mathrm{d} x \\ = & \frac{1}{2} \int_{\Omega} \int_{\Omega} \frac{1}{|x-y|^{N+s p}}\left|u_{1}(y)-u_{1}(x)\right|^{p-2}\left(u_{1}(y)-u_{1}(x)\right) \left(q\left(u_{1}(y)-u_{2}(y)\right)-q\left(u_{1}(x)-u_{2}(x)\right)\right) \mathrm{d} y \mathrm{d} x \\ & -\frac{1}{2} \int_{\Omega} \int_{\Omega} \frac{1}{|x-y|^{N+s p}}\left|u_{2}(y)-u_{2}(x)\right|^{p-2}\left(u_{2}(y)-u_{2}(x)\right) \left(q\left(u_{1}(y)-u_{2}(y)\right)-q\left(u_{1}(x)-u_{2}(x)\right)\right) \mathrm{d} y \mathrm{d} x \\ = & \frac{1}{2} \int_{\Omega} \int_{\Omega} \frac{1}{|x-y|^{N+s p}}\left[q\left(u_{1}(y)-u_{2}(y)\right)-q\left(u_{1}(x)-u_{2}(x)\right)\right] \\ & \cdot \left[\left|u_{1}(y)-u_{1}(x)\right|^{p-2}\left(u_{1}(y)-u_{1}(x)\right)-\left|u_{2}(y)-u_{2}(x)\right|^{p-2} \left(u_{2}(y)-u_{2}(x)\right)\right] \mathrm{d} x \mathrm{d} y \\ \geqslant & \ 0 , \end{aligned}上式非负是因为 q 是单调上升的，且 p>1 时 t \mapsto |t|^{p-2}t 也是单调上升的. 因此 N_{p,s} 在 L^2(\Omega) 上是完全增生的. 下面用变分方法来验证值域条件 L^2(\Omega) \subset R(\mathrm{I} + N_{p,s})，其中 \mathrm{I} 是 L^2(\Omega) 上的恒等映射. 给定 f \in L^2(\Omega)，考虑泛函 J(v)= \mathcal{N}_{p}^{s}(v)+\frac{1}{2} \int_{\Omega} v^{2} \mathrm{d}x-\int_{\Omega} f v \mathrm{d}x,先证 J(v) 在 W^{s, p}(\Omega) \cap L^{2}(\Omega) 上有极小值. 利用带 \varepsilon 的 Cauchy 不等式，有 J(v) \geqslant \frac{1}{2} \int_{\Omega} v^{2} \mathrm{d}x-\int_{\Omega} f v \mathrm{d}x \geqslant \left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{\varepsilon}{2}\right)\int_{\Omega} v^{2} \mathrm{d}x -\dfrac{1}{2\varepsilon} \int_{\Omega} f^{2} \mathrm{d}x, 只要取 0<\varepsilon<1 就得到 J(v) 下方有界，因此 J(v) 有下确界，从而存在极小化序列 u_k \in W^{s, p}(\Omega) \cap L^{2}(\Omega) 使得\ \displaystyle \lim_{k \to \infty} J(u_k) = \inf_{v \in L^2(\Omega)} J(v). 因为\ \displaystyle \lim_{k \to \infty} J(u_k) 极限存在，故存在常数 M>0 使得 |J(u_k)| \leqslant M. 再次利用带 \varepsilon 的 Cauchy 不等式，有 \mathcal{N}_{p}^{s}(u_k)+\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{\varepsilon}{2}\right) \int_{\Omega} u_k^{2} \mathrm{d}x \leqslant M +\dfrac{1}{2\varepsilon}\int_{\Omega} f^2 \mathrm{d}x,取 0<\varepsilon<1 便得到 \{u_k\} 包含在 W^{s,p}(\Omega) 的一个闭球中，由 1<p<+\infty 时 W^{s,p}(\Omega) 的自反性，可取 \{u_k\} 的子列 \{u_{k_i}\} 使得它在 W^{s,p}(\Omega) 中弱收敛；同理，注意到 \{u_k\} 也包含在 L^2(\Omega) 的一个闭球中，又可取 \{u_{k_i}\} 的子列使得它在 L^2(\Omega) 中弱收敛，记此弱极限为 u，则 u \in W^{s,p}(\Omega) \cap L^2(\Omega). 由 Fatou 引理显然有 \mathcal{N}_{p}^{s} 在 L^2(\Omega) 中下半连续，那么 J(v) 在 L^2(\Omega) 中是弱下半连续的，从而 \inf _{v \in L^{2}(\Omega)} J(v) \leqslant J(u) \leqslant \underset{k \to \infty}{\underline{\text{lim}}} J\left(u_{k_{i}}\right) \leqslant \lim _{k \rightarrow \infty} J\left(u_{k_{i}}\right)=\inf _{v \in L^{2}(\Omega)} J(v),这样就证明了 J(v) 极小元 u 的存在性，其唯一性由 J(v) 的严格凸性保证，而这是显然的. 对于任一 \varphi \in W^{s,p}(\Omega) \cap L^2(\Omega) 和 \varepsilon \in \mathbb{R}，记F(\varepsilon) = J(u+ \varepsilon \varphi)=\mathcal{N}_{p}^{s}(u+ \varepsilon \varphi)+\frac{1}{2} \int_{\Omega} (u+ \varepsilon \varphi)^{2} \mathrm{d} x-\int_{\Omega} f (u+ \varepsilon \varphi) \mathrm{d} x,由于 u 是 J(v) 在 L^2(\Omega) 中的极小元，F(\varepsilon) 应在 \varepsilon 时取极小值，由 F'(0)=0 便得到 \frac{1}{2} \int_{\Omega} \int_{\Omega} \frac{1}{|x-y|^{N+s p}}|u(y)-u(x)|^{p-2}(u(y)-u(x))(\varphi(y)-\varphi(x)) \mathrm{d} y \mathrm{d} x = \int_{\Omega} (f(x)-u(x)) \varphi(x) \mathrm{d} x,这说明 (u,f-u) \in G(N_{p,s})，即 L^2(\Omega) \subset R(\mathrm{I} + N_{p,s})，因此 N_{p,s} 在是 L^2(\Omega) 上 m-完全增生的.\quad\quad下面证明 D(N_{p,s}) 在 L^2(\Omega) 中稠密. 任取 v \in W^{s,p}(\Omega) \cap L^2(\Omega)，由 N_{p,s} 在是 L^2(\Omega) 上 m-完全增生的可知存在 u_n \in D(N_{p,s}) 使得 (u_n, n(v-u_n)) \in G(N_{p,s})，故对任意 \varphi \in W^{s,p}(\Omega) \cap L^2(\Omega) 都有 \frac{1}{2} \int_{\Omega} \int_{\Omega} \frac{1}{|x-y|^{N+s p}}|u_n(y)-u_n(x)|^{p-2}(u_n(y)-u_n(x))(\varphi(y)-\varphi(x)) \mathrm{d} y \mathrm{d} x = n \int_{\Omega} (v(x)-u_n(x)) \varphi(x) \mathrm{d} x,现在取 \varphi = v - u_n，利用 Young 不等式有 \begin{aligned} & \int_{\Omega} (v(x)-u_n(x))^2 \mathrm{d} x\\ =& \frac{1}{2n} \int_{\Omega} \int_{\Omega} \frac{|u_n(y)-u_n(x)|^{p-2}}{|x-y|^{N+s p}}(u_n(y)-u_n(x))(v(y)-v(x)) \mathrm{d} y \mathrm{d} x - \frac{1}{2n} \int_{\Omega} \int_{\Omega} \frac{|u_n(y)-u_n(x)|^{p}}{|x-y|^{N+s p}} \mathrm{d} y \mathrm{d} x\\ \leqslant & \frac{1}{2np} \int_{\Omega} \int_{\Omega} \frac{|v(y)-v(x)|^{p}}{|x-y|^{N+s p}} \mathrm{d} y \mathrm{d} x + \frac{1}{2nq} \int_{\Omega} \int_{\Omega} \frac{|u_n(y)-u_n(x)|^{p}}{|x-y|^{N+s p}} \mathrm{d} y \mathrm{d} x - \frac{1}{2n} \int_{\Omega} \int_{\Omega} \frac{|u_n(y)-u_n(x)|^{p}}{|x-y|^{N+s p}} \mathrm{d} y \mathrm{d} x \\ \leqslant & \frac{1}{2n} \int_{\Omega} \int_{\Omega} \frac{|v(y)-v(x)|^{p}}{|x-y|^{N+s p}} \mathrm{d} y \mathrm{d} x \\ =& \frac{1}{n} [v]_{W^{s,p}(\Omega)}^p, \end{aligned}即 u_n 在 L^2(\Omega) 中收敛到 v，这说明 D(N_{p,s}) 在 L^2(\Omega) 中稠密.\quad\quad最后证明 G(N_{p,s}) = \partial \mathcal{N}_{p}^{s}. 按照定义，设 (u,v) \in G(N_{p,s})，对给定的 w \in W^{s, p}(\Omega) \cap L^{2}(\Omega)，取 \varphi =w-u，利用不等式 |a|^p-|b|^p \geqslant p|b|^{p-2}b(a-b) 有 \begin{aligned} & \int_{\Omega} v(x) (w(x)-u(x)) \mathrm{d} x\\ =& \frac{1}{2} \int_{\Omega} \int_{\Omega} \frac{1}{|x-y|^{N+s p}}|u(y)-u(x)|^{p-2}(u(y)-u(x))\left[(w(y)-w(x))-(u(y)-u(x))\right] \mathrm{d} y \mathrm{d} x\\ \leqslant & \mathcal{N}_{p}^{s}(w) - \mathcal{N}_{p}^{s}(u), \end{aligned}因此 v \in \partial \mathcal{N}_{p}^{s}(u)，即 G(N_{p,s}) \subset \partial \mathcal{N}_{p}^{s}，再利用 N_{p,s} 在是 L^2(\Omega) 上 m-完全增生的就有 G(N_{p,s}) = \partial \mathcal{N}_{p}^{s}.