\quad\quad
设拓扑空间 X
,其子集族 \mathcal{F}
是 \sigma
-代数,E
为赋范空间,称向量值函数 \boldsymbol{\mu}: \mathcal{F} \rightarrow E
为向量值测度,当\quad\quad
(i) \boldsymbol{\mu}(\varnothing)=\mathbf{0}
;\quad\quad
(ii) 对于互不相交的 \left\{A_{j}\right\}_{j=1}^{\infty}
, \boldsymbol{\mu}\left( \displaystyle \bigcup_{j=1}^{\infty}A_{j}\right)= \displaystyle \sum_{j=1}^{\infty}\boldsymbol{\mu}\left(A_{j}\right)
.\quad\quad
设测度空间 (X,\mathcal{F})
上的向量值测度 \boldsymbol{\mu}
,对于任意 A \in \mathcal{F}
,定义 \boldsymbol{\mu}
的全变差 |\boldsymbol{\mu}|
为 |\boldsymbol{\mu}|(A):=\sup \left\{\sum_{i=1}^{\infty}\left\|\boldsymbol{\mu}\left(A_{i}\right)\right\|_E: A_{i} \in \mathcal{F}, A_i \cap A_j = \varnothing (i \ne j), \bigcup_{i=1}^{\infty} A_{i} \subset A\right\},
显然 |\boldsymbol{\mu}|
是正测度,如果 |\boldsymbol{\mu}|(A)<\infty
,则称 \boldsymbol{\mu}
是有限的.\quad\quad
称测度 \eta : \mathcal{F} \rightarrow \mathbb{R}
为 Radon 测度,当且仅当\quad\quad
(i) 对任意 \mu
-可测集 A \in \mathcal{F}
,存在 Borel 集 B \in \mathcal{F}
使得 A \subset B
且 \eta(A) = \eta(B)
;\quad\quad
(ii) 对任意紧集 K \subset X
,\eta(K) < \infty
,
对于向量值测度 \boldsymbol{\mu}: \mathcal{F} \rightarrow E
,如果 |\boldsymbol{\mu}|
为 Radon 测度,则称 \boldsymbol{\mu}
为向量值 Radon 测度.\quad\quad
现在设 \Omega \in \mathbb{R}^n
为开集,定义 f \in L^1(\Omega)
在 \Omega
的全变差为 |\mathbf{D}f|(\Omega) := \sup \left\{\int_{\Omega} f \operatorname{div} \boldsymbol{\varphi} \mathrm{d} x\left|\boldsymbol{\varphi} \in C_{0}^{1}\left(\Omega ; \mathbb{R}^{n}\right),\| \boldsymbol{\varphi}\|_{L^{\infty}(\Omega)} \leqslant 1 \right. \right\},
如果 |\mathbf{D}f|(\Omega) < \infty
,称 f
是 \Omega
上的有界变差函数,记作 f \in \mathrm{BV}(\Omega)
. \quad\quad
类似地,设 f \in L_{\mathrm{loc}}^1(\Omega)
,如果对任意开集 \Omega' \subset \subset \Omega
(即 \overline{\Omega'}
为 \Omega
的紧子集)都有 \sup \left\{\int_{\Omega'} f \operatorname{div} \boldsymbol{\varphi} \mathrm{d} x\left|\boldsymbol{\varphi} \in C_{0}^{1}\left(\Omega' ; \mathbb{R}^{n}\right),\| \boldsymbol{\varphi}\|_{L^{\infty}(\Omega)} \leqslant 1 \right. \right\} < \infty,
则称 f
是 \Omega
上的局部有界变差函数,记作 f \in \mathrm{BV}_{\mathrm{loc}}(\Omega)
. \quad\quad
引理 1\quad
Adams RA, Sobolev Space, 定理 2.29(iv)\quad
设有界区域 \Omega \in \mathbb{R}^n
,f \in C(\Omega)
,且在 \Omega
外为零. 设开集 G
,\overline{G}
为 \Omega
的紧子集,则在 G
上一致地有 \lim_{\varepsilon \to 0^+} J_{\varepsilon}f(x)=f(x).\quad\quad
引理 2\quad
Evans, Measure Theory and Fine Properties of Functions, 定理 1.38\quad
设线性泛函 L: C_{0}\left(\mathbb{R}^{n} ; \mathbb{R}^{m}\right) \rightarrow \mathbb{R}
对任意紧集 K \subset \mathbb{R}^{n}
满足 \sup \left\{L(\boldsymbol{f}) \left|\boldsymbol{f} \in C_{0}\left(\mathbb{R}^{n}; \mathbb{R}^{m}\right),\|\boldsymbol{f}\|_{L^{\infty}(\Omega)} \leqslant 1, \mathrm{supp} \boldsymbol{f} \subset K\right. \right\} < \infty,
则存在 Radon 测度 \mu
和 \mu
-可测向量值函数 \boldsymbol{\sigma}:\mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^m
使得\quad\quad
(i) |\boldsymbol{\sigma(x)}|=1
,\mu
-a.e. ; \quad\quad
(ii) 对任意 f \in C_{0}\left(\Omega ; \mathbb{R}^{n}\right)
,都有 L(\boldsymbol{f})=\int_{\mathbb{R}^{n}} \boldsymbol{f} \cdot \boldsymbol{\sigma} \mathrm{d} \mu.\quad\quad
现在给出局部有界变差函数的结构定理. 设 f \in \mathrm{BV}_{\mathrm{loc}}(\Omega)
,则存在 Radon 测度 \mu
和 \mu
-可测向量值函数 \boldsymbol{\sigma}:\Omega \rightarrow \mathbb{R}^n
使得\quad\quad
(i) |\boldsymbol{\sigma(x)}|=1
,\mu
-a.e. ;\quad\quad
(ii) 对任意 \boldsymbol{\varphi} \in C_{0}^{1}\left(\Omega ; \mathbb{R}^{n}\right)
,都有 \int_{\Omega} f \operatorname{div} \boldsymbol{\varphi} \mathrm{d} x=-\int_{\Omega} \boldsymbol{\varphi} \cdot \boldsymbol{\sigma} \mathrm{d} \mu.\quad\quad
证明\quad
定义线性泛函 L: C_{0}^{1}\left(\Omega ; \mathbb{R}^{n}\right) \rightarrow \mathbb{R}
,对 \boldsymbol{\varphi} \in C_{0}^{1}\left(\Omega ; \mathbb{R}^{n}\right)
,有 L(\boldsymbol{\varphi})=\int_{\Omega} f \operatorname{div} \boldsymbol{\varphi} \mathrm{d} x,
对任意开集 \Omega' \subset \subset \Omega
,L
的算子范数 \|L\|=\sup \left\{L(\boldsymbol{\varphi}) \left|\boldsymbol{\varphi} \in C_{0}^{1}\left(\Omega' ; \mathbb{R}^{n}\right),\| \boldsymbol{\varphi}\|_{L^{\infty}(\Omega)} \leqslant 1 \right. \right\},
由 \left|L(\boldsymbol{\varphi})\right|=\|L\| \|\boldsymbol{\varphi}\|_{L^{\infty}(\Omega)}
可知 L
是 C_{0}^{1}\left(\Omega' ; \mathbb{R}^{n}\right)
上的有界线性泛函. \quad\quad
对于任意紧集 K \subset \Omega
,取开集 \Omega'
使得 K \subset \Omega' \subset \subset \Omega
,对任意满足 \mathrm{supp} \boldsymbol{\varphi} \subset K
的 \boldsymbol{\varphi} \in C_{0}\left(\Omega ; \mathbb{R}^{n}\right)
,取其磨光函数序列 J_{\frac{1}{k}}\boldsymbol{\varphi}=\boldsymbol{\varphi}_k \in C_{0}^{1}\left(\Omega' ; \mathbb{R}^{n}\right)
,由引理 1 可知在 \Omega'
上 \boldsymbol{\varphi}_k
一致收敛到 \boldsymbol{\varphi}
. 由 L
的连续性可知\ \displaystyle \lim_{k \to \infty} L(\boldsymbol{\varphi}_k)
存在且不依赖于 \boldsymbol{\varphi}_k
的选取,记此极限为 \bar{L}(\boldsymbol{\varphi})
,则 L
被唯一地延拓成 C_{0}\left(\Omega ; \mathbb{R}^{n}\right)
上的线性泛函 \bar{L}
,且 \sup \left\{\bar{L}(\boldsymbol{\varphi}) \left|\boldsymbol{\varphi} \in C_{0}\left(\Omega ; \mathbb{R}^{n}\right),\| \boldsymbol{\varphi}\|_{L^{\infty}(\Omega)} \leqslant 1, \mathrm{supp} \boldsymbol{\varphi} \subset K\right. \right\}<\infty,
由引理 2,命题得证.\quad\quad
将上面定理中 \mu
记为 |\mathbf{D}f|
,并记 \mathbf{D}f=\boldsymbol{\sigma}|\mathbf{D}f|
,则\int_{\Omega} f \operatorname{div} \boldsymbol{\varphi} \mathrm{d} x=-\int_{\Omega} \boldsymbol{\varphi} \cdot \boldsymbol{\sigma} \mathrm{d} |\mathbf{D}f| = -\int_{\Omega} \boldsymbol{\varphi} \cdot \mathrm{d} \mathbf{D}f,
\mathbf{D}f = (\mu_1,\mu_2,\cdots,\mu_n)
是一个有限向量值 Radon 测度,由 Lebesgue 分解定理(Evans, Measure Theory and Fine Properties of Functions, 定理 1.31),有 \mathbf{D}f = \nabla f \ {\lambda}+\mathbf{D}^sf,\nabla f
是 \mathbf{D}f
关于 n
维 Lebesgue 测度 \lambda
的绝对连续部分,\mathbf{D}^sf
是奇异部分.\quad\quad
设 f \in \mathrm{BV}(\Omega)
,记全变差 |\mathbf{D}f|(\Omega) = \displaystyle \int_{\Omega} |\mathbf{D}f|
,在 \mathrm{BV}(\Omega)
上可赋以范数 \|f\|_{\mathrm{BV}(\Omega)}=\|f\|_{L^1(\Omega)}+|\mathbf{D}f|(\Omega)=\int_{\Omega} f \mathrm{d}x+\int_{\Omega} |\mathbf{D}f|
使其成为 Banach 空间,这是由于全变差的下半连续性,即任取序列 f_k \in \mathrm{BV}(\Omega)
在 L_{\mathrm{loc}}^1(\Omega)
中强收敛到 f
,对任意 \boldsymbol{\varphi} \in C_{0}^1\left(\Omega ; \mathbb{R}^{n}\right)
且 \| \boldsymbol{\varphi}\|_{L^{\infty}(\Omega)}=1
,\int_{\Omega} f \operatorname{div} \boldsymbol{\varphi} \mathrm{d} x=\int_{\Omega} \lim _{k \rightarrow \infty} f_{k} \operatorname{div} \boldsymbol{\varphi} \mathrm{d} x \leqslant \underset{k \to \infty}{\underline{\text{lim}}} \int_{\Omega} f_{k} \operatorname{div} \boldsymbol{\varphi} \mathrm{d} x \leqslant \underset{k \to \infty}{\underline{\text{lim}}} \int_{\Omega}\left|\mathbf{D} f_{k}\right|,
从而\int_{\Omega}|\mathbf{D} f|=\sup \left\{\int_{\Omega} f \operatorname{div} \boldsymbol{\varphi} \mathrm{d} x \mid \boldsymbol{\varphi} \in C_{0}^{1}\left(\Omega ; \mathbb{R}^{n}\right),\|\boldsymbol{\varphi}\|_{L^{\infty}(\Omega)} \leqslant 1\right\} \leqslant \underset{k \to \infty}{\underline{\text{lim}}} \int_{\Omega}\left|\mathbf{D} f_{k}\right|.
\quad\quad
注意到 \mathrm{BV}(\Omega)
中的 Cauchy 列亦为 L^1(\Omega)
中的 Cauchy 列,结合全变差的下半连续性就可以验证 \mathrm{BV}(\Omega)
的完备性.