[A7] 向量值测度、Radon 测度与有界变差函数空间 BV(Ω) 的定义

\quad\quad设拓扑空间 X,其子集族 \mathcal{F}\sigma-代数,E 为赋范空间,称向量值函数 \boldsymbol{\mu}: \mathcal{F} \rightarrow E 为向量值测度,当
\quad\quad(i) \boldsymbol{\mu}(\varnothing)=\mathbf{0}
\quad\quad(ii) 对于互不相交的 \left\{A_{j}\right\}_{j=1}^{\infty} \boldsymbol{\mu}\left( \displaystyle \bigcup_{j=1}^{\infty}A_{j}\right)= \displaystyle \sum_{j=1}^{\infty}\boldsymbol{\mu}\left(A_{j}\right).
\quad\quad设测度空间 (X,\mathcal{F}) 上的向量值测度 \boldsymbol{\mu},对于任意 A \in \mathcal{F},定义 \boldsymbol{\mu} 的全变差 |\boldsymbol{\mu}||\boldsymbol{\mu}|(A):=\sup \left\{\sum_{i=1}^{\infty}\left\|\boldsymbol{\mu}\left(A_{i}\right)\right\|_E: A_{i} \in \mathcal{F}, A_i \cap A_j = \varnothing (i \ne j), \bigcup_{i=1}^{\infty} A_{i} \subset A\right\}, 显然 |\boldsymbol{\mu}| 是正测度,如果 |\boldsymbol{\mu}|(A)<\infty,则称 \boldsymbol{\mu} 是有限的.
\quad\quad称测度 \eta : \mathcal{F} \rightarrow \mathbb{R} 为 Radon 测度,当且仅当
\quad\quad(i) 对任意 \mu-可测集 A \in \mathcal{F},存在 Borel 集 B \in \mathcal{F} 使得 A \subset B\eta(A) = \eta(B)
\quad\quad(ii) 对任意紧集 K \subset X\eta(K) < \infty
对于向量值测度 \boldsymbol{\mu}: \mathcal{F} \rightarrow E,如果 |\boldsymbol{\mu}| 为 Radon 测度,则称 \boldsymbol{\mu} 为向量值 Radon 测度.
\quad\quad现在设 \Omega \in \mathbb{R}^n 为开集,定义 f \in L^1(\Omega)\Omega 的全变差为 |\mathbf{D}f|(\Omega) := \sup \left\{\int_{\Omega} f \operatorname{div} \boldsymbol{\varphi} \mathrm{d} x\left|\boldsymbol{\varphi} \in C_{0}^{1}\left(\Omega ; \mathbb{R}^{n}\right),\| \boldsymbol{\varphi}\|_{L^{\infty}(\Omega)} \leqslant 1 \right. \right\},如果 |\mathbf{D}f|(\Omega) < \infty,称 f\Omega 上的有界变差函数,记作 f \in \mathrm{BV}(\Omega).
\quad\quad类似地,设 f \in L_{\mathrm{loc}}^1(\Omega) ,如果对任意开集 \Omega' \subset \subset \Omega (即 \overline{\Omega'}\Omega 的紧子集)都有 \sup \left\{\int_{\Omega'} f \operatorname{div} \boldsymbol{\varphi} \mathrm{d} x\left|\boldsymbol{\varphi} \in C_{0}^{1}\left(\Omega' ; \mathbb{R}^{n}\right),\| \boldsymbol{\varphi}\|_{L^{\infty}(\Omega)} \leqslant 1 \right. \right\} < \infty,则称 f\Omega 上的局部有界变差函数,记作 f \in \mathrm{BV}_{\mathrm{loc}}(\Omega).
\quad\quad引理 1\quadAdams RA, Sobolev Space, 定理 2.29(iv)\quad设有界区域 \Omega \in \mathbb{R}^nf \in C(\Omega),且在 \Omega 外为零. 设开集 G\overline{G}\Omega 的紧子集,则在 G 上一致地有 \lim_{\varepsilon \to 0^+} J_{\varepsilon}f(x)=f(x).\quad\quad引理 2\quadEvans, Measure Theory and Fine Properties of Functions, 定理 1.38\quad设线性泛函 L: C_{0}\left(\mathbb{R}^{n} ; \mathbb{R}^{m}\right) \rightarrow \mathbb{R} 对任意紧集 K \subset \mathbb{R}^{n} 满足 \sup \left\{L(\boldsymbol{f}) \left|\boldsymbol{f} \in C_{0}\left(\mathbb{R}^{n}; \mathbb{R}^{m}\right),\|\boldsymbol{f}\|_{L^{\infty}(\Omega)} \leqslant 1, \mathrm{supp} \boldsymbol{f} \subset K\right. \right\} < \infty,则存在 Radon 测度 \mu\mu-可测向量值函数 \boldsymbol{\sigma}:\mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^m使得
\quad\quad(i) |\boldsymbol{\sigma(x)}|=1\mu-a.e. ;
\quad\quad(ii) 对任意 f \in C_{0}\left(\Omega ; \mathbb{R}^{n}\right),都有 L(\boldsymbol{f})=\int_{\mathbb{R}^{n}} \boldsymbol{f} \cdot \boldsymbol{\sigma} \mathrm{d} \mu.\quad\quad现在给出局部有界变差函数的结构定理. 设 f \in \mathrm{BV}_{\mathrm{loc}}(\Omega),则存在 Radon 测度 \mu\mu-可测向量值函数 \boldsymbol{\sigma}:\Omega \rightarrow \mathbb{R}^n使得
\quad\quad(i) |\boldsymbol{\sigma(x)}|=1\mu-a.e. ;
\quad\quad(ii) 对任意 \boldsymbol{\varphi} \in C_{0}^{1}\left(\Omega ; \mathbb{R}^{n}\right),都有 \int_{\Omega} f \operatorname{div} \boldsymbol{\varphi} \mathrm{d} x=-\int_{\Omega} \boldsymbol{\varphi} \cdot \boldsymbol{\sigma} \mathrm{d} \mu.\quad\quad证明\quad 定义线性泛函 L: C_{0}^{1}\left(\Omega ; \mathbb{R}^{n}\right) \rightarrow \mathbb{R},对 \boldsymbol{\varphi} \in C_{0}^{1}\left(\Omega ; \mathbb{R}^{n}\right),有 L(\boldsymbol{\varphi})=\int_{\Omega} f \operatorname{div} \boldsymbol{\varphi} \mathrm{d} x,对任意开集 \Omega' \subset \subset \OmegaL 的算子范数 \|L\|=\sup \left\{L(\boldsymbol{\varphi}) \left|\boldsymbol{\varphi} \in C_{0}^{1}\left(\Omega' ; \mathbb{R}^{n}\right),\| \boldsymbol{\varphi}\|_{L^{\infty}(\Omega)} \leqslant 1 \right. \right\},\left|L(\boldsymbol{\varphi})\right|=\|L\| \|\boldsymbol{\varphi}\|_{L^{\infty}(\Omega)} 可知 LC_{0}^{1}\left(\Omega' ; \mathbb{R}^{n}\right) 上的有界线性泛函.
\quad\quad对于任意紧集 K \subset \Omega,取开集 \Omega' 使得 K \subset \Omega' \subset \subset \Omega,对任意满足 \mathrm{supp} \boldsymbol{\varphi} \subset K\boldsymbol{\varphi} \in C_{0}\left(\Omega ; \mathbb{R}^{n}\right),取其磨光函数序列 J_{\frac{1}{k}}\boldsymbol{\varphi}=\boldsymbol{\varphi}_k \in C_{0}^{1}\left(\Omega' ; \mathbb{R}^{n}\right) ,由引理 1 可知在 \Omega'\boldsymbol{\varphi}_k 一致收敛到 \boldsymbol{\varphi}. 由 L 的连续性可知\ \displaystyle \lim_{k \to \infty} L(\boldsymbol{\varphi}_k) 存在且不依赖于 \boldsymbol{\varphi}_k 的选取,记此极限为 \bar{L}(\boldsymbol{\varphi}),则 L 被唯一地延拓成 C_{0}\left(\Omega ; \mathbb{R}^{n}\right) 上的线性泛函 \bar{L},且 \sup \left\{\bar{L}(\boldsymbol{\varphi}) \left|\boldsymbol{\varphi} \in C_{0}\left(\Omega ; \mathbb{R}^{n}\right),\| \boldsymbol{\varphi}\|_{L^{\infty}(\Omega)} \leqslant 1, \mathrm{supp} \boldsymbol{\varphi} \subset K\right. \right\}<\infty,由引理 2,命题得证.
\quad\quad将上面定理中 \mu 记为 |\mathbf{D}f|,并记 \mathbf{D}f=\boldsymbol{\sigma}|\mathbf{D}f|,则\int_{\Omega} f \operatorname{div} \boldsymbol{\varphi} \mathrm{d} x=-\int_{\Omega} \boldsymbol{\varphi} \cdot \boldsymbol{\sigma} \mathrm{d} |\mathbf{D}f| = -\int_{\Omega} \boldsymbol{\varphi} \cdot \mathrm{d} \mathbf{D}f, \mathbf{D}f = (\mu_1,\mu_2,\cdots,\mu_n) 是一个有限向量值 Radon 测度,由 Lebesgue 分解定理(Evans, Measure Theory and Fine Properties of Functions, 定理 1.31),有 \mathbf{D}f = \nabla f \ {\lambda}+\mathbf{D}^sf,\nabla f\mathbf{D}f 关于 n 维 Lebesgue 测度 \lambda 的绝对连续部分,\mathbf{D}^sf 是奇异部分.
\quad\quadf \in \mathrm{BV}(\Omega),记全变差 |\mathbf{D}f|(\Omega) = \displaystyle \int_{\Omega} |\mathbf{D}f|,在 \mathrm{BV}(\Omega) 上可赋以范数 \|f\|_{\mathrm{BV}(\Omega)}=\|f\|_{L^1(\Omega)}+|\mathbf{D}f|(\Omega)=\int_{\Omega} f \mathrm{d}x+\int_{\Omega} |\mathbf{D}f|使其成为 Banach 空间,这是由于全变差的下半连续性,即任取序列 f_k \in \mathrm{BV}(\Omega)L_{\mathrm{loc}}^1(\Omega) 中强收敛到 f,对任意 \boldsymbol{\varphi} \in C_{0}^1\left(\Omega ; \mathbb{R}^{n}\right)\| \boldsymbol{\varphi}\|_{L^{\infty}(\Omega)}=1\int_{\Omega} f \operatorname{div} \boldsymbol{\varphi} \mathrm{d} x=\int_{\Omega} \lim _{k \rightarrow \infty} f_{k} \operatorname{div} \boldsymbol{\varphi} \mathrm{d} x \leqslant \underset{k \to \infty}{\underline{\text{lim}}} \int_{\Omega} f_{k} \operatorname{div} \boldsymbol{\varphi} \mathrm{d} x \leqslant \underset{k \to \infty}{\underline{\text{lim}}} \int_{\Omega}\left|\mathbf{D} f_{k}\right|,从而\int_{\Omega}|\mathbf{D} f|=\sup \left\{\int_{\Omega} f \operatorname{div} \boldsymbol{\varphi} \mathrm{d} x \mid \boldsymbol{\varphi} \in C_{0}^{1}\left(\Omega ; \mathbb{R}^{n}\right),\|\boldsymbol{\varphi}\|_{L^{\infty}(\Omega)} \leqslant 1\right\} \leqslant \underset{k \to \infty}{\underline{\text{lim}}} \int_{\Omega}\left|\mathbf{D} f_{k}\right|. \quad\quad注意到 \mathrm{BV}(\Omega) 中的 Cauchy 列亦为 L^1(\Omega) 中的 Cauchy 列,结合全变差的下半连续性就可以验证 \mathrm{BV}(\Omega) 的完备性.

发表评论

您的电子邮箱地址不会被公开。