[A16] 一类拟线性 Cauchy 问题的最大正则方法

\quad\quad本文考虑一类拟线性 Cauchy 问题 \left\{ \begin{array}{l} \dot{u} + A(u)u = F(u), \quad t \in (0,T), \\ u(0) = u_0, \end{array} \right.\tag{1}其中 T>0. 设 1<p<+\infty, E_0 和 E_1 是两个 Banach 空间，E_1 \xhookrightarrow[]{d} E_0. 在以后的讨论中，总是假设 u \in \mathcal{W}^{1,p}(0,T;(E_1,E_0)) := L^{p} \left (0,T;E_1\right) \cap W^{1,p} \left (0,T;E_0\right), \begin{array}{c} A : \mathcal{W}^{1,p}(0,T;(E_1,E_0)) \to L^{\infty} \left (0,T;\mathcal{L}(E_1,E_0)\right), \\[.8ex] F : \mathcal{W}^{1,p}(0,T;(E_1,E_0)) \to L^{p} \left (0,T;E_0\right), \end{array} u_0 \in (E_0, E_1)_{1-\frac{1}{p},p}, 这里 (\cdot,\cdot)_{\theta, p} 为标准实插值函子.
\quad\quad由以上假设可知，对每个 u \in \mathcal{W}^{1,p}(0,T;(E_1,E_0)),都有 A(u) \in L^{\infty} \left (0,T;\mathcal{L}(E_1,E_0)\right)，因而对每个 v \in \mathcal{W}^{1,p}(0,T;(E_1,E_0))，映射 \mathcal{W}^{1,p}(0,T;(E_1,E_0)) \to L^{p} \left (0,T;E_0\right), \quad v \mapsto A(u)v 都是线性的. 称 u \in \mathcal{W}^{1,p}_{\mathrm{loc}}(0,T;(E_1,E_0)) 为问题 (1) 的解，当且仅当存在 T_1 \in (0,T), 使得对任意 S \in (0,T_1) 都满足 u|_{(0,S)} \in \mathcal{W}^{1,p}(0,S;(E_1,E_0))，且 u 是线性 Cauchy 问题 \dot{v} + A(u)v = F(u) \ \mathrm{on} \ (0,T), \quad v(0) = u_0, 的解. 问题 (1) 的一个解被称为最大的，当且仅当它不能被延拓成一个严格更大的区间上的解. 这个最大的区间 (0,T_1) 就称为问题 (1) 的最大存在区间. 问题 (1) 的一个解被称为全局的当且仅当它在整个 (0,T) 上都有定义.
\quad\quad为了理解以上的定义，首先要研究线性 Cauchy 问题 \dot{u} + Bu = f \ \mathrm{on} \ (0,T), \quad u(0) = 0.\tag{2}设 B \in \mathcal{L}\left(\mathcal{W}^{1,p}(0,T;(E_1,E_0)), L^{p}(0,T;E_0)\right), f \in L^{p} \left (0,T;E_0\right)，称满足 (2) 的 u \in \mathcal{W}^{1,p}(0,T;(E_1,E_0)) 为问题 (2) 的 L^p 强解. 若问题 (2) 对每个 f \in L^{p} \left (0,T;E_0\right) 存在唯一的 L^p 强解，那么就称 B 在 (0,T) 上对 (E_1,E_0) 拥有最大 L^p 正则性. 记 \mathcal{MR}^p(0,T;(E_1,E_0)) 为所有在 (0,T) 上对 (E_1,E_0) 拥有最大 L^p 正则性的映射 B \in L^{\infty} \left (0,T;\mathcal{L}(E_1,E_0)\right) 的集合，记 \mathcal{MR}^p(E_1,E_0) 为使得映射 [t \mapsto C] 属于 \mathcal{MR}^p(0,T;(E_1,E_0)) 的映射 C \in \mathcal{L}(E_1,E_0) 的集合. 下面的定理是非常有用的.
\quad\quad定理 1 \ (性质 7.1, [1])\quad设 A \in C\left([0,T],\mathcal{L}(E_1,E_0)\right)，则 A \in \mathcal{MR}^p(0,T;(E_1,E_0)) 当且仅当对所有 t \in (0,T) 都有 A(t) \in \mathcal{MR}^p(E_1,E_0).
\quad\quad设 X, Y 为两个度量空间. 记 \mathcal{C}^{1-}(X, Y) 为在有界集上有界且一致 Lipschitz 连续的映射 X \to Y 所构成的集合. 如果 Y 和 Y_0 是两个 Banach 空间，Y 嵌入 Y_0，就记 \mathcal{C}^{1-}(X; Y, Y_0) 为使得 f-f(0) \in \mathcal{C}^{1-}(X, Y) 的映射 f: X \to Y_0 所构成的集合. 考虑映射 (A,F) : \mathcal{W}^{1,p}(0,T;(E_1,E_0)) \to L^{\infty} \left (0,T;\mathcal{L}(E_1,E_0)\right) \times L^{p} \left (0,T;E_0\right), 称其有 Volterra 性质，当且仅当给定 u \in \mathcal{W}^{1,p}(0,T;(E_1,E_0)) 和 S \in (0,T), (A,F)(u) 在 (0,S) 上的限制仅取决于 u|_{(0,S)}. 当映射的非线性中不存在时间非局部特性时，Volterra 性质是天然满足的. 下面给出拟线性 Cauchy 问题最大解的存在唯一性定理.
\quad\quad定理 2\ (定理 2.1, [2])\quad设 p<q<+\infty, (A,F) 具有 Volterra 性质，且 \begin{array}{c} A \in \mathcal{C}^{1-}\left(\mathcal{W}^{1,p}(0,T;(E_1,E_0)),\mathcal{MR}^p(0,T;(E_1,E_0))\right), \\[.8ex] F \in \mathcal{C}^{1-}\left(\mathcal{W}^{1,p}(0,T;(E_1,E_0)); L^{q} \left (0,T;E_0\right), L^{p} \left (0,T;E_0\right)\right), \end{array}则问题 (1) 存在唯一的最大解 u 和相应的最大存在区间 (0,T_{\max}). 若 u \in \mathcal{W}^{1,p}(0,T_{\max};(E_1,E_0))，则 u 是全局的，即 T_{\max}=T.
\quad\quad运用此定理的最困难之处便在于验证对 u \in \mathcal{W}^{1,p}(0,T;(E_1,E_0))，总有 A(u) \in \mathcal{MR}^p(0,T;(E_1,E_0)). 特别地，当 E_0 = L^{p}(\Omega) 时，有以下定理：
\quad\quad定理 3\ (定理 3.1, [3])\quad设 1<p,q<+\infty, \Omega = \mathbb{R}^N 或为在 \mathbb{R}^N 上具有 Lipschitz 边界的区域, -B 是一个 L^{2}(\Omega) 上的解析 C_0-半群 \mathcal{T} 的负生成元. 若 \mathcal{T} 可以被表示成一个具有 k>0 阶 Poisson 界的核 K(\cdot,\cdot,\cdot): (0,+\infty) \times \Omega \times \Omega \to \mathbb{R} 的积分算子，即 (T(t)f)(x) :=\int_{\Omega}K(t,x,y)f(y)\mathrm{d}y, \quad f \in L^2(\Omega),则任给 f \in L^{p}\left(0,+\infty;L^q(\Omega)\right)，问题 (2) 存在唯一解 u \in L^{p} \left (0,+\infty;\mathrm{Dom}(\mathcal{T}_q)\right) \cap W^{1,p} \left (0,+\infty;L^q(\Omega)\right),这里 \mathcal{T}_q 表示 K 在 L^{q}(\Omega) 上生成的 C_0-半群.
\quad\quad设 B 为一个 m 阶线性微分算子，那么就可以将其表示为B = \sum_{|\beta| \leqslant m} b_{\beta}\partial^{\beta},其中 b_{\beta}: \Omega \to \mathbb{R}. B 的主符号定义为 \mathcal{B}_{\pi}(x,\xi) = \sum_{|\beta| = m} b_{\beta}(x) \xi^{\beta}.称 B 是 (M,\theta) 一致椭圆的，当且仅当存在 M>0, 0<\theta<\pi 使得对所有 x \in \Omega 和 |\xi|=1 都有 \begin{array}{l} \displaystyle \max_{|\beta|=m} \|b_{\beta}\|_{\infty} \leqslant M,\quad \left|\left[\mathcal{B}_{\pi}(x,\xi)\right]^{-1}\right| \leqslant M, \\[.8ex] \sigma(\mathcal{B}_{\pi}(x,\xi)) \subset \left\{z \in \mathbb{C} \backslash \{0\} : |\mathrm{arg}(z)|<\theta\right\}. \end{array} 用 BUC(\Omega) 表示 \Omega 上有界且一致连续的函数构成的集合，用 BUC^{\rho}(\Omega) 表示 \Omega 上有界且一致 \rho-Hölder 连续的函数构成的集合，其中 0<\rho<1. 通过以下两个定理验证定理 3 的条件，结合定理 1 和定理 3，就能够验证定理 2 的条件：
\quad\quad定理 4\ (推论 9.5, [4])\quad设 1<p<+\infty, B 为一个 (M,\theta) 一致椭圆的 m 阶线性微分算子，若 b_{\beta} \in BUC^{\rho}(\Omega), 0<\rho<1, M>0, \theta<\dfrac{\pi}{2}，则 B 是一个 L^{p}(\Omega) 上的解析 C_0-半群的负生成元.
\quad\quad定理 5\ (定理 9.4.2, [5])\;\;设 B 为一个一致椭圆的 m (m \geqslant 2 为偶数) 阶线性微分算子. 若 b_{\beta} \in BUC^{\rho}(\Omega), 0<\rho<1, 则问题 (2) 的 Green 函数 G(x,t;\xi,\tau) 有 Poisson 界\left|G(x,t;\xi,\tau)\right| \leqslant \dfrac{C}{(t-\tau)^{\frac{N}{m}}} \exp \left\{ - c \left( \dfrac{|x-\xi|^m}{t-\tau} \right)^{\frac{1}{m-1}}\right\}, 其中 C, c>0 为常数. 特别地，当 m = 2 时，上述 Poisson 界成为 Gauss 界，这个结果见定理 6.3.1, [6].
\quad\quad接下来用最大正则方法给出一类二阶拟线性偏微分方程周期边值问题解的存在唯一性定理. 考虑 \left\{ \begin{array}{ll} u_t = \mathrm{div}\left(g\left(\left|\nabla^{\alpha} u\right|\right) \nabla u\right), &(x,t) \in \Omega \times (0,T), \\[.5ex] u \ \small{周期的}, & t \in (0,T), \\ u(0) = u_0, & x \in \Omega,\end{array}\right.\tag{3}其中 \Omega=[0,1]^{N}, 0 < \alpha < 1 , g(s)=\dfrac{1}{1+c^2s^2}. 利用最大正则方法可以得出以下结果：
\quad\quad定理 6\quad给定 u_0 \in W^{2-\frac{2}{p},p}_{\pi}(\Omega) 和 p>\dfrac{2+N}{1-\alpha}，问题 (3) 存在唯一的最大解 u : (0,T_{\max}) \to L^p_{\pi}(\Omega). 若还有 u \in W^{1,p} \left (0,T_{\max};L^p_{\pi}(\Omega)\right)，则 u 是全局的.
\quad\quad证明 \quad 选取 E_0=L^p_{\pi}(\Omega), E_1=W^{2,p}_{\pi}(\Omega)，则 (E_0, E_1)_{1-\frac{1}{p},p} = W^{2-\frac{2}{p},p}_{\pi}(\Omega). 首先，我们熟知对任意 s 和 \alpha>0, 1<p<+\infty，\partial^{\alpha}_{x_j} \in \mathcal{L}\left(H^{s,p}_{\pi}(\Omega), H^{s-\alpha,p}_{\pi}(\Omega)\right),由古典嵌入W^{s,p}_{\pi}(\Omega) \xhookrightarrow[]{} H^{s-\delta,p}_{\pi}(\Omega), \quad \forall s > \delta >0,和H^{s,p}_{\pi}(\Omega) \xhookrightarrow[]{} C^{s-\frac{N}{p}}(\overline{\Omega}), \quad \forall s > \dfrac{N}{p},可知 sp>N 时，存在 \delta>0 使得 \partial^{\alpha}_{x_j} \in \mathcal{L}\left(W^{s,p}_{\pi}(\Omega), C^{s-\alpha-\frac{N}{p}-\delta}(\overline{\Omega})\right). 特别地，取 s=2-\dfrac{2}{p}，就有 \left[u \mapsto \partial^{\alpha}_{x_j} u \right] \in \mathcal{L}\left(W^{2-\frac{2}{p},p}_{\pi}(\Omega), C^{2-\alpha-\frac{N+2}{p}-\delta}(\overline{\Omega})\right).再利用嵌入关系 (见[2])\mathcal{W}^{1,p}(0,T;(E_1,E_0)) \xhookrightarrow[]{} C\left([0,T], (E_0, E_1)_{1-\frac{1}{p},p}\right)可知当 p>\dfrac{2+N}{1-\alpha} 时，对任意 u \in \mathcal{W}^{1,p}(0,T;(E_1,E_0)), 存在 \rho = 1-\alpha-\dfrac{N+2}{p}-\delta > 0 使得 \left|\nabla^{\alpha}u\right| \in C\left([0,T],C^{1+\rho}(\overline{\Omega})\right).由于 g \in BUC^{\infty}(\mathbb{R},\mathbb{R}_+)，由定理 3.1, [7] 可知 g(\left|\nabla^{\alpha}u\right|) \in C^{\rho}(\overline{\Omega}), g'(\left|\nabla^{\alpha}u\right|) \in C^{\rho}(\overline{\Omega})，因此对任意 v \in \mathcal{W}^{1,p}(0,T;(E_1,E_0))，A(u)v = -\nabla^{\mathrm{T}} g(\left|\nabla^{\alpha}u\right|) \nabla v - g(\left|\nabla^{\alpha}u\right|) \Delta v = \sum_{|\beta| \leqslant m} a_{\beta,u}(x)\partial^{\beta} v,总有 a_{\beta,u}(x) \in BUC^{\rho}(\Omega). 同时还有\left[t \mapsto A(u(t))\right] \in C\left([0,T], \mathcal{L}(E_1, E_0)\right).\quad\quad接下来验证对任意 t \in (0,T), A(u(t)) \in \mathcal{MR}^p(E_1,E_0). 对任意 u \in \mathcal{W}^{1,p}(0,T;(E_1,E_0))，考虑 -A(u):=B 的主符号\mathcal{B}_{\pi}(x,\xi) = \sum_{|\beta| = 2} b_{\beta,u}(x) \xi^{\beta} = g(\left|\nabla^{\alpha}u\right|) |\xi|^2,\left|\nabla^{\alpha}u\right| 的有界性意味着存在 0 < \varepsilon < 1 使得对所有 x \in \Omega 和 |\xi|=1 都有0 < \varepsilon < \mathcal{B}_{\pi}(x,\xi) = g(\left|\nabla^{\alpha}u\right|) |\xi|^2 < \dfrac{1}{\varepsilon},这说明 \mathrm{Re}(\lambda)<\varepsilon 时, \lambda I - \mathcal{B}_{\pi}(x,\xi) 可逆，因此存在 0<\theta<\dfrac{\pi}{2} 使得\sigma(\mathcal{B}_{\pi}(x,\xi)) \subset \left\{\lambda \in \mathbb{C} : \mathrm{Re}(\lambda) \geqslant \varepsilon \right\} \cap \mathbb{R} \subset \left\{z \in \mathbb{C} \backslash \{0\} : |\mathrm{arg}(z)|<\theta \right\},再由 g(\left|\nabla^{\alpha}u\right|) \in C^{\rho}(\overline{\Omega}) 便知存在 M=\dfrac{1}{\varepsilon} 使得\max_{|\beta|=m} \|b_{\beta}\|_{\infty} \leqslant M,\quad \left|\left[\mathcal{B}_{\pi}(x,\xi)\right]^{-1}\right| \leqslant M,因此 B=-A(u) 是 (M,\theta) 一致椭圆的. 由定理 4 可知，对任意 t \in (0,T), -A(u(t)) 都是一个 L^{2}(\Omega) 上的解析 C_0-半群 \mathcal{T} 的负生成元. 由定理 5 可知，\mathcal{T} 的核 K 具有 Gauss 界 \left|K(t,x,y)\right| \leqslant \dfrac{C}{t^{\frac{N}{m}}} \exp \left\{ - c \left( \dfrac{|x-y|^m}{t} \right)^{\frac{1}{m-1}}\right\},再由定理 3 可知当 p \geqslant 2 时, A(u(t)) \in \mathcal{MR}^p(E_1,E_0). 现在由定理 1 就有 A(u) \in \mathcal{MR}^p(0,T;(E_1,E_0)).\quad\quad最后来验证 A 的 Lipschitz 连续性. 对 R>0, 取 v,w \in B_{\mathcal{MR}^p(0,T;(E_1,E_0))}(0,R)，就有\begin{aligned}& \|A(v)-A(w)\|_{L^{\infty}(0,T;\mathcal{L}(E_1,E_0))} \\ \leqslant & \sup_{t \in [0,T]} \|A(v(t))-A(w(t))\|_{\mathcal{L}(E_1,E_0)} \\ \leqslant & \sup_{t \in [0,T]} \sup_{\|u\|_{E_1}=1} \|A(v(t))u-A(w(t))u\|_{E_0} \\ \leqslant & \sup_{t \in [0,T]} \sum_{|\beta| \leqslant 2} \sup_{\|u\|_{W^{2,p}_{\pi}(\Omega)}=1} \left\| a_{\beta,v(t)} - a_{\beta,w(t)}\right\|_{\infty} \left\| \partial^{\beta} u\right\|_{L^p_{\pi}(\Omega)} \\ \leqslant & \sup_{t \in [0,T]} \left[ \left\|g(|\nabla^{\alpha}v(t)|) - g(|\nabla^{\alpha}w(t)|)\right\|_{\infty} + \sum_{j=1}^N \left\|\partial_{x_j}\left(g(|\nabla^{\alpha}v(t)|) - g(|\nabla^{\alpha}w(t)|)\right)\right\|_{\infty} \right] \\ \leqslant & C \sup_{t \in [0,T]} \left\|g\left(|\nabla^{1-\varepsilon}v(t)|\right) - g\left(|\nabla^{1-\varepsilon}w(t)|\right)\right\|_{C^{1,\rho}(\overline{\Omega})} \\ \leqslant & C \sup_{t \in [0,T]} \left\|v(t) - w(t)\right\|_{W^{2-\frac{2}{p}, p}_{\pi}(\Omega)} \\ \leqslant & C \left\|v - w\right\|_{C\left([0,T],W^{2-\frac{2}{p}, p}_{\pi}(\Omega)\right)} \\ \leqslant & C \left\|v - w\right\|_{\mathcal{W}^{1,p}(0,T;(E_1,E_0))}, \end{aligned}因此 A \in \mathcal{C}^{1-}\left(\mathcal{W}^{1,p}(0,T;(E_1,E_0)),\mathcal{MR}^p(0,T;(E_1,E_0))\right)，最终由定理 2 便完成了本定理的证明.\quad\quad\square
\quad\quad为了降低对初值光滑性的要求，还可以考虑问题 (3) 的弱解. 选取 E_0=W^{-1,p}_{\pi}(\Omega), E_1=W^{1,p}_{\pi}(\Omega)，则 (E_0, E_1)_{1-\frac{1}{p},p} = W^{1-\frac{2}{p},p}_{\pi}(\Omega). 给定 u \in W^{1,p}_{\pi}(\Omega)，定义双线性型a[u](v,w) = \int_{\Omega}g\left(\left|\nabla^{\alpha} u\right|\right) \nabla v \cdot \nabla w \mathrm{d}x, \quad (v,w) \in W^{1,p}_{\pi}(\Omega) \times W^{1,p'}_{\pi}(\Omega),就可以将问题 (3) 写成弱形式\langle u_t, \varphi \rangle-a[u](u,\varphi) = 0, \quad \varphi \in W^{1,p'}_{\pi}(\Omega), \ \mathrm{a.e.} \ t \in (0,T),对给定的 u_0 \in W^{1-\frac{2}{p},p}_{\pi}(\Omega)，满足上式的 u \in L^{p} \left (0,T;W^{1,p}_{\pi}(\Omega)\right) \cap W^{1,p} \left (0,T;W^{-1,p}_{\pi}(\Omega)\right) 称为问题 (3) 的弱解. 一般地，类似对最大解的研究，我们可以研究问题 (1) 的最大弱解，而其最困难之处仍然在于验证对 u \in \mathcal{W}^{1,p}(0,T;(E_1,E_0))，总有 A(u) \in \mathcal{MR}^p(0,T;(E_1,E_0)). 幸运地，对于问题 (2) ，当 B 为一类特别的二阶线性微分算子，且 \Omega 为周期域时，考虑其周期边值问题，类似于定理 12.2, [8]，有以下结果：
\quad\quad定理 7\quad 设 1<p<+\infty, \mathcal{B}=-\partial_j(b_{jk}\partial_k \cdot) 为一个正规椭圆的二阶线性微分算子, B 是 \mathcal{B} 在 W^{-1,p}_{\pi}(\Omega) 意义下的实在化，即\left \langle Bu,\varphi\right \rangle := \left \langle b_{jk} \partial_k u, \partial_j \varphi\right \rangle, \quad (u,\varphi) \in W^{1,p}_{\pi}(\Omega) \times W^{1,p'}_{\pi}(\Omega),若 b_{jk} \in BUC(\Omega)，则 B \in \mathcal{MR}^p(W^{1,p}_{\pi}(\Omega),W^{-1,p}_{\pi}(\Omega)).
\quad\quad定理 8\;\;\;给定 u_0 \in W^{1-\frac{2}{p},p}_{\pi}(\Omega) 和 p>\dfrac{2+N}{1-\alpha}，问题 (3) 存在唯一最大弱解 u : (0,T_{\max}) \to W^{-1,p}_{\pi}(\Omega). 若还有 u \in W^{1,p} \left (0,T_{\max};W^{-1,p}_{\pi}(\Omega)\right)，则 u 是全局的.
\quad\quad证明 \quad 选取 E_0=W^{-1,p}_{\pi}(\Omega), E_1=W^{1,p}_{\pi}(\Omega)，则 (E_0, E_1)_{1-\frac{1}{p},p} = W^{1-\frac{2}{p},p}_{\pi}(\Omega). 与定理 6 证明类似地，当 p>\dfrac{2+N}{1-\alpha} 时，对任意 u \in \mathcal{W}^{1,p}(0,T;(E_1,E_0)), 存在 \rho = 1-\alpha-\dfrac{N+2}{p}-\delta > 0 使得 \left|\nabla^{\alpha}u\right| \in C\left([0,T],C^{\rho}(\overline{\Omega})\right),且\left[t \mapsto g(\left|\nabla^{\alpha}u(t)\right|) \right] \in C\left([0,T],C^{\rho}(\overline{\Omega})\right).定义线性算子 \mathcal{A}(u) = - \mathrm{div}\left(g\left(\left|\nabla^{\alpha} u\right|\right) \nabla \cdot\right), A(u) 为其在 W^{-1,p}_{\pi}(\Omega) 意义下的实在化，即 \left \langle A(u)v,\varphi\right \rangle := a[u](v,\varphi), \quad (v,\varphi) \in W^{1,p}_{\pi}(\Omega) \times W^{1,p'}_{\pi}(\Omega),则\left[t \mapsto A(u(t))\right] \in C\left([0,T], \mathcal{L}(E_1, E_0)\right).\quad\quad定理 6 的证明中已经蕴含了 \mathcal{A}(u) 为正规椭圆的二阶线性微分算子，由定理 7 便知对任意 t \in (0,T), A(u(t)) \in \mathcal{MR}^p(E_1,E_0). 由定理 1 就有 A(u) \in \mathcal{MR}^p(0,T;(E_1,E_0)).
\quad\quad最后来验证 A 的 Lipschitz 连续性. 对 R>0, 取 v,w \in B_{\mathcal{MR}^p(0,T;(E_1,E_0))}(0,R)，就有\begin{aligned}& \|A(v)-A(w)\|_{L^{\infty}(0,T;\mathcal{L}(E_1,E_0))} \\ \leqslant & \sup_{t \in [0,T]} \|A(v(t))-A(w(t))\|_{\mathcal{L}(E_1,E_0)} \\ \leqslant & \sup_{t \in [0,T]} \sup_{\|u\|_{E_1}=1} \|A(v(t))u-A(w(t))u\|_{E_0} \\ \leqslant & \sup_{t \in [0,T]} \sup_{\|u\|_{W^{1,p}_{\pi}(\Omega)}=1} \sup_{\|\varphi\|_{W^{1,p'}_{\pi}(\Omega)}=1} \int_{\Omega} \left(g(|\nabla^{\alpha}v(t)|) - g(|\nabla^{\alpha}w(t)|)\right) \nabla u \cdot \nabla \varphi \mathrm{d} x \\ \leqslant & \sup_{t \in [0,T]} \left\|g(|\nabla^{\alpha}v(t)|) - g(|\nabla^{\alpha}w(t)|)\right\|_{\infty} \\ \leqslant & C \sup_{t \in [0,T]} \left\||\nabla^{\alpha}v(t)| - |\nabla^{\alpha}w(t)|\right\|_{C^{\rho}(\overline{\Omega})} \\ \leqslant & C \sup_{t \in [0,T]} \left\|v(t) - w(t)\right\|_{W^{1-\frac{2}{p}, p}_{\pi}(\Omega)} \\ \leqslant & C \left\|v - w\right\|_{C\left([0,T],W^{1-\frac{2}{p}, p}_{\pi}(\Omega)\right)} \\ \leqslant & C \left\|v - w\right\|_{\mathcal{W}^{1,p}(0,T;(E_1,E_0))}, \end{aligned}因此 A \in \mathcal{C}^{1-}\left(\mathcal{W}^{1,p}(0,T;(E_1,E_0)),\mathcal{MR}^p(0,T;(E_1,E_0))\right)，最终由定理 2 便完成了本定理的证明.\quad\quad\square

参 考 文 献

\quad\quad [1] H. Amann, Maximal regularity for nonautonomous evolution equations, Adv. Nonlinear Stud. 4 (4) (2006) 417–430.
\quad\quad [2] H. Amann, Quasilinear parabolic problems via maximal regularity, Adv. Differential Equations 10 (10) (2005) 1081–1110.
\quad\quad [3] M. Hieber, J. Prüss, Heat kernels and maximal L^p-L^q-estimates for parabolic evolution equations, Comm. Partial Differential Equations 22 (1997) 1647-1669.
\quad\quad [4] H. Amann, M. Hieber, G. Simonett, Bounded H_{\infty}-calculus for elliptic operators, Differential Integral Equations 7 (3–4) (1994) 613–653.
\quad\quad [5] Friedman, A.: Partial differential equations of parabolic type. Kruger, Malabar,FL (1983)
\quad\quad [6] M.G. Garroni, J.L. Menaldi, Green functions for second order parabolic integro-differential equations, in: Pitman Research Notes in Mathematics, Longman Scientific and Technical, New York (1992)
\quad\quad [7] Chiappinelli, R., Nugari, R.: The Nemitskii operators in Hölder spaces: some necessary and sufficient conditions. J. of London Math. Soc 51(2) (1995) 365–372.
\quad\quad [8] Amann, H. Nonautonomous Parabolic Equations Involving Measures. J. Math. Sci. 130 (2005) 4780–4802.