[A14] 变阶数分数阶 Sobolev 空间的紧嵌入定理与延拓定理

\quad\quad本文证明变阶数分数阶 Sobolev 空间 W^{s(\cdot,\cdot),p}(\Omega) 的紧嵌入定理与延拓定理. 首先给出空间 W^{s(\cdot,\cdot),p}(\Omega) 的定义. 设 \Omega \subset \mathbb{R}^N 是开集，1 \leqslant p < + \infty 为常数. s: \mathbb{R}^N \times \mathbb{R}^N \to (0,1) 是一个连续函数，对所有 (x,y) \in \mathbb{R}^N \times \mathbb{R}^N 都有 s(x,y)=s(y,x)，且 0<s^- \leqslant s(x,y) \leqslant s^+<1 ，其中s^-=\min_{(x,y) \in \mathbb{R}^N \times \mathbb{R}^N}s(x,y), \quad s^+=\max_{(x,y) \in \mathbb{R}^N \times \mathbb{R}^N}s(x,y),对于可积函数 u: \Omega \to \mathbb{R}，定义变阶数 Gagliardo 半范数 [u]_{W^{s(\cdot,\cdot),p}(\Omega)} = \left(\int_{\Omega} \int_{\Omega} \frac{|u(x)-u(y)|^p}{|x-y|^{N+s(x,y)p}} \mathrm{d} x \mathrm{d} y\right)^{\frac{1}{p}} ,定义变阶数分数阶 Sobolev 空间 W^{s(\cdot,\cdot),p}(\Omega) = \left\{ u \in L^p(\Omega): \ [u]_{W^{s(\cdot,\cdot),p}(\Omega)} < + \infty \right\}, 则 \left(W^{s(\cdot,\cdot),p}(\Omega),\|\cdot\|_{W^{s(\cdot,\cdot),p}(\Omega)}\right) 是可分的 Banach 空间，其范数为 \|u\|_{W^{s(\cdot,\cdot),p}(\Omega)} = \left(\|u\|_{L^p(\Omega)}^p+[u]_{W^{s(\cdot,\cdot),p}(\Omega)}^p\right)^{\frac{1}{p}}, 当 p>1 时，这空间还是自反的.
\quad\quad引理 1\quad(E. Di Nezza)\quad设 \Omega \subset \mathbb{R}^N 是光滑的有界区域，1 \leqslant p < + \infty, \ 0<s<1 ，且 sp<N. 那么对所有 q \in \left[1, p_{s}^*\right) 都存在 C=C(N,p,s,\Omega) 使得 \|u\|_{L^q(\Omega)} \leqslant C \|u\|_{W^{s,p}(\Omega)},即 W^{s,p}(\Omega) 连续地嵌入 L^q(\Omega). 进一步地，这个嵌入是紧的.
\quad\quad接下来利用引理 1 给出变阶数分数阶 Sobolev 空间的紧嵌入定理. 对 p 和 s(x,y) 的假设与上面定义中相同.
\quad\quad定理 1\quad设 \Omega \subset \mathbb{R}^N 是光滑的有界区域，那么对所有 q \in \left[1, p_{s(x,y)}^*\right), \ (x,y) \in \overline{\Omega} \times \overline{\Omega} 都存在 C=C(N,p,s^-,\Omega) 使得 \|u\|_{L^q(\Omega)} \leqslant C \|u\|_{W^{s(\cdot,\cdot),p}(\Omega)},即 W^{s(\cdot,\cdot),p}(\Omega) 连续地嵌入 L^q(\Omega). 进一步地，这个嵌入是紧的.
\quad\quad证明\quad 既然对所有 (x,y) \in \overline{\Omega} \times \overline{\Omega} 都有 q < p_{s(x,y)}^* = \dfrac{Np}{N-s(x,y)p}，那么就有 q < p_{s^-}^* = \dfrac{Np}{N-s^-p}. 由 W^{s^-,p}(\Omega) 嵌入 L^q(\Omega)，存在 C=C(N,p,s^-,\Omega) 使得 \|u\|_{L^q(\Omega)} \leqslant C \left(\|u\|_{L^p(\Omega)} + [u]_{W^{s^-,p}(\Omega)}\right),而 \begin{aligned} \left[u\right]_{W^{s^-,p}(\Omega)} &= \left(\int_{\Omega} \int_{\Omega} \frac{|u(x)-u(y)|^p}{|x-y|^{N+s^-p}} \mathrm{d} x \mathrm{d} y\right)^{\frac{1}{p}} \\ &= \left(\int_{\Omega} \int_{\Omega} \left(|x-y|^{s(x,y)-s^-}\right)^p \frac{|u(x)-u(y)|^p}{|x-y|^{N+s(x,y)p}} \mathrm{d} x \mathrm{d} y\right)^{\frac{1}{p}} \\ & \leqslant \max \left\{1, \sup_{(x,y) \in \Omega \times \Omega} (\textrm{diam}(\Omega))^{s(x,y)-s^-}\right\} \left(\int_{\Omega} \int_{\Omega} \frac{|u(x)-u(y)|^p}{|x-y|^{N+s(x,y)p}} \mathrm{d} x \mathrm{d} y\right)^{\frac{1}{p}}\\ & \leqslant \max \left\{1, \textrm{diam}(\Omega)\right\} \left[u\right]_{W^{s(\cdot,\cdot),p}(\Omega)}, \end{aligned}因此又存在 C=C(N,p,s^-,\Omega) 使得\|u\|_{L^q(\Omega)} \leqslant C \left(\|u\|_{L^p(\Omega)} + [u]_{W^{s(\cdot,\cdot),p}(\Omega)}\right) = C\|u\|_{W^{s(\cdot,\cdot),p}(\Omega)}. \quad\quad接下来证明上面的嵌入是紧的. 取 W^{s(\cdot,\cdot),p}(\Omega) 中的有界序列 \{u_k\}，则 \{u_k\} 在 W^{s^-,p}(\Omega) 中也是有界的. 而 q \in \left[1, p_{s^-}^*\right) 时，W^{s^-,p}(\Omega) 到 L^q(\Omega) 的嵌入是紧的，因此存在 u \in L^q(\Omega) 使 \{u_k\} 的一个子列在 L^q(\Omega) 中收敛到 u，这就说明 W^{s(\cdot,\cdot),p}(\Omega) 到 L^q(\Omega) 的嵌入也是紧的.
\quad\quad为了研究变阶数分数阶 Sobolev 空间中的稠密性质，需要将 W^{s(\cdot,\cdot),p}(\Omega) 中的函数延拓至全空间. 以下先证明几个有用的引理.
\quad\quad引理 2\quad设 \Omega \subset \mathbb{R}^N 是开集，K 是 \Omega 的一个紧子集，u \in W^{s(\cdot,\cdot),p}(\Omega) 且 u 在 \Omega \backslash K 上恒为零. 设\tilde{u}(x)= \left\{ \begin{alignedat}{2} &u(x), \quad &&x \in \Omega,\\ &0, &&x \in \mathbb{R}^N \backslash \Omega, \end{alignedat} \right.则 \tilde{u} \in {W^{s(\cdot,\cdot),p}(\mathbb{R}^N)}.
\quad\quad证明\quad显然 \tilde{u} \in L^p(\mathbb{R}^N)，因此只需证明 [u]_{W^{s(\cdot,\cdot),p}(\mathbb{R}^N)} < \infty，而 \tilde{u} 在 \mathbb{R}^N \backslash \Omega 上恒为零，利用 Gagliardo 范数的对称性就有 [u]_{W^{s(\cdot,\cdot),p}(\mathbb{R}^N)}^p = [u]_{W^{s(\cdot,\cdot),p}(\Omega)}^p + \int_{\Omega} \left( \int_{\mathbb{R}^N \backslash \Omega} \frac{|u(x)|^p}{|x-y|^{N+s(x,y)p}} \mathrm{d} y \right) \mathrm{d} x ,故只需证明上式右侧第二项有限. 对于任意 y \in \mathbb{R}^N \backslash K，有 \begin{aligned} \frac{|u(x)|^p}{|x-y|^{N+s(x,y)p}} & = \frac{\mathbf{1}_K(x)|u(x)|^p}{|x-y|^{N+s(x,y)p}} \leqslant \mathbf{1}_K(x) |u(x)|^p \sup_{x \in K } \frac{1}{|x-y|^{N+s(x,y)p}} \\ & \leqslant \mathbf{1}_K(x) |u(x)|^p \dfrac{1}{\min \left\{ \mathrm{dist}(y, \partial K)^{N+s^-p},\mathrm{dist}(y, \partial K)^{N+s^+p} \right\}} , \end{aligned}由于 K 是 \Omega 的紧子集，有 \mathrm{dist}(y, \partial K)>0，而且有 N+s^-p>N 且 N+s^+p>N，因此 \int_{\Omega} \left( \int_{\mathbb{R}^N \backslash \Omega} \frac{|u(x)|^p}{|x-y|^{N+s(x,y)p}} \mathrm{d} y \right) \mathrm{d} x < + \infty ,这就证明了 \tilde{u} \in {W^{s(\cdot,\cdot),p}(\mathbb{R}^N)}.
\quad\quad引理 3\quad设 \Omega \subset \mathbb{R}^N 是关于第 N 个坐标轴对称的开集，记 \Omega^+=\{x \in \Omega: x_N > 0\} 和 \Omega^-=\{x \in \Omega: x_N \leqslant 0\}，设 u \in W^{s(\cdot,\cdot),p}(\Omega^+). 对 x = (x_1, x_2, \cdots, x_N) = (x', x_N) \in \Omega，定义\bar{u}(x)= \left\{ \begin{alignedat}{2} &u(x', x_N), \quad &&x \in \Omega^+,\\ &u(x', -x_N), &&x \in \Omega^-, \end{alignedat} \right.则 \bar{u} \in {W^{s(\cdot,\cdot),p}(\Omega)}.
\quad\quad证明\quad作变量替换 \hat{x}=(x', -x_N)，就得到 \|\bar{u}\|_{L^{p}(\Omega)}^{p}=\int_{\Omega^{+}}|u(x)|^{p} \mathrm{d} x+\int_{\Omega^{-}}|u(x)|^{p} \mathrm{d} x=\int_{\Omega^{+}}|u(x)|^{p} \mathrm{d} x+\int_{\Omega^{+}}\left|u\left(\hat{x}', \hat{x}_{N}\right)\right|^{p} \mathrm{d} \hat{x}=2\|u\|_{L^{p}\left(\Omega^{+}\right)}^{p},另外还有\begin{aligned} \left[\bar{u}\right]_{W^{s(\cdot,\cdot), p}\left(\Omega\right)}^{p} = & \int_{\Omega^{+}} \int_{\Omega^{+}} \frac{|u(x)-u(y)|^{p}}{|x-y|^{n+s(x,y)p}} \mathrm{d} x \mathrm{d} y +2 \int_{\Omega^{+}} \int_{\Omega^{-}} \frac{\left|u(x)-u\left(y',-y_{N}\right)\right|^{p}}{|x-y|^{N+s(x,y)p}} \mathrm{d} x \mathrm{d} y \\ & +\int_{\Omega^{-}} \int_{\Omega^{-}} \frac{\left|u\left(x',-x_{N}\right)-u\left(y',-y_{N}\right)\right|^{p}}{|x-y|^{N+s(x,y)p}} \mathrm{d} x \mathrm{d} y \\ = & \int_{\Omega^{+}} \int_{\Omega^{+}} \frac{|u(x)-u(y)|^{p}}{|x-y|^{n+s(x,y)p}} \mathrm{d} x \mathrm{d} y +2 \int_{\Omega^{+}} \int_{\Omega^{+}} \frac{\left|u(x)-u\left(\hat{y}\right)\right|^{p}}{|x-\hat{y}|^{N+s(x,\hat{y})p}} \mathrm{d} x \mathrm{d} \hat{y} \\ & +\int_{\Omega^{+}} \int_{\Omega^{+}} \frac{\left|u\left(\hat{x}\right)-u\left(\hat{y}\right)\right|^{p}}{|\hat{x}-\hat{y}|^{N+s(\hat{x},\hat{y})p}} \mathrm{d} \hat{x} \mathrm{d} \hat{y} \\ = & 4\left[u\right]_{W^{s(\cdot,\cdot), p}\left(\Omega^+\right)}^{p} , \end{aligned}因此就有 \bar{u} \in {W^{s(\cdot,\cdot),p}(\Omega)}.
\quad\quad引理 4\quad设 \Omega \subset \mathbb{R}^N 是开集，u \in W^{s(\cdot,\cdot),p}(\Omega), \ \eta \in C^{0,1}(\Omega)，0 \leqslant \eta \leqslant 1，则 \eta u \in W^{s(\cdot,\cdot),p}(\Omega) .
\quad\quad证明\quad由 0 \leqslant \eta \leqslant 1 易得 \|\eta u\|_{L^p(\Omega)} \leqslant \|u\|_{L^p(\Omega)}. 而 \begin{aligned} \left[\eta u\right]_{W^{s(\cdot,\cdot),p}(\Omega)} =& \int_{\Omega} \int_{\Omega} \frac{|\eta(x) u(x)-\eta(y) u(y)|^{p}}{|x-y|^{N+s(x,y)p}} \mathrm{d} x \mathrm{d} y \\ \leqslant & 2^{p-1}\left(\int_{\Omega} \int_{\Omega} \frac{|\eta(x) u(x)-\eta(x) u(y)|^{p}}{|x-y|^{N+s(x,y)p}} \mathrm{d} x \mathrm{d} y +\int_{\Omega} \int_{\Omega} \frac{|\eta(x) u(y)-\eta(y) u(y)|^{p}}{|x-y|^{n+s(x,y)p}} \mathrm{d} x \mathrm{d} y\right) \\ \leqslant & 2^{p-1}\left(\int_{\Omega} \int_{\Omega} \frac{|u(x)-u(y)|^{p}}{|x-y|^{N+s(x,y)p}} \mathrm{d} x \mathrm{d} y +\int_{\Omega} \int_{\Omega} \frac{|u(x)|^{p}|\eta(x)-\eta(y)|^{p}}{|x-y|^{N+s(x,y)p}} \mathrm{d} x \mathrm{d} y\right), \end{aligned}关注右侧括号中的第二项，由于 \eta 是 Lipschitz 连续的，因此存在 L>0 使得 \begin{aligned} &\int_{\Omega} \int_{\Omega} \frac{|u(x)|^{p}|\eta(x)-\eta(y)|^{p}}{|x-y|^{N+s(x,y)p}} \mathrm{d} x \mathrm{d} y \\ \leqslant& L^{p} \int_{\Omega} \int_{\Omega \cap \left\{(x,y):|x-y| \leqslant 1\right\}} \frac{|u(x)|^{p}}{|x-y|^{N+(s(x,y)-1)p}} \mathrm{d} x \mathrm{d} y +\int_{\Omega} \int_{\Omega \cap \left\{(x,y):|x-y| > 1\right\}} \frac{|u(x)|^{p}}{|x-y|^{N+s(x,y)p}} \mathrm{d} x \mathrm{d} y \\ \leqslant& L^{p} \int_{\Omega} \int_{\Omega \cap \left\{(x,y):|x-y| \leqslant 1\right\}} \frac{|u(x)|^{p}}{|x-y|^{N+(s^--1)p}} \mathrm{d} x \mathrm{d} y +\int_{\Omega} \int_{\Omega \cap \left\{(x,y):|x-y| > 1\right\}} \frac{|u(x)|^{p}}{|x-y|^{N+s^-p}} \mathrm{d} x \mathrm{d} y, \end{aligned}考查右侧两项积分中的分母，当 |x-y| \leqslant 1 时，N+(s^- -1)p<N， |x-y|^{-N+(1-s^-)p} 关于 y 可积；当 |x-y| > 1 时，N+s^-p>N， |x-y|^{-N-s^-p} 关于 y 可积，从而\int_{\Omega} \int_{\Omega} \frac{|u(x)|^{p}|\eta(x)-\eta(y)|^{p}}{|x-y|^{N+s(x,y)p}} \mathrm{d} x \mathrm{d} y \leqslant C \|u\|_{L^p(\Omega)} < + \infty,因此就有 \eta u \in W^{s(\cdot,\cdot),p}(\Omega).
\quad\quad接下来利用引理 2 至引理 4 给出变阶数分数阶 Sobolev 空间的延拓定理.
\quad\quad定理 2\quad设 \Omega \subset \mathbb{R}^N 是具有 C^{0,1} 边界的有界区域，则 W^{s(\cdot,\cdot),p}(\Omega) 连续地嵌入 W^{s(\cdot,\cdot),p}(\mathbb{R}^N)，即存在 \tilde{u} \in W^{s(\cdot,\cdot),p}(\mathbb{R}^N) 使得 \tilde{u}|_{\Omega}=u 且存在常数 C>0 使得 \|\tilde{u}\|_{W^{s(\cdot,\cdot),p}(\mathbb{R}^N)} \leqslant C \|u\|_{W^{s(\cdot,\cdot),p}(\Omega)}.
\quad\quad证明\quad用单位分解进行证明. 既然 \partial \Omega 是紧的，就可取有限个球 U_j 使得 \partial \Omega \subset \displaystyle \bigcup_{j=1}^k U_j，那么存在 \eta_0 \in C_0^{\infty}(\mathbb{R}^N \backslash \partial \Omega), \ \eta_1 \in C_0^{\infty}(U_1), \cdots,\eta_k \in C_0^{\infty}(U_k)，对所有 j=1,2,\cdots,k 都有 0 \leqslant \eta_j \leqslant 1，且对所有 j=0,1,\cdots,k 都有\ \displaystyle \sum_{j=0}^k \eta_j = 1. 那么 u=\sum_{j=0}^k \eta_j u. \quad\quad由引理 4 可知 \eta_0 u \in W^{s(\cdot,\cdot),p}(\Omega)，再由引理 2 将 \eta_0 延拓至全空间，即 \widetilde{\eta_0 u}(x)= \left\{ \begin{alignedat}{2} & \eta_0 u(x), \quad &&x \in \Omega,\\ &0, &&x \in \mathbb{R}^N \backslash \Omega, \end{alignedat} \right.则 \widetilde{\eta_0 u} \in W^{s(\cdot,\cdot),p}(\mathbb{R}^N).
\quad\quad接下来对边界进行局部拉平. 对所有 j=1,2,\cdots,k，存在映射 \varPsi_j:Q \to U_j，满足 \varPsi_j \in C^{0,1}(\overline{Q}),\ \varPsi_j^{-1} \in C^{0,1}(\overline{U}_j),\ \varPsi_j(Q^+)=U_j \cap \Omega,\ \varPsi_j(\varGamma)=U_j \cap \partial \Omega, 其中 Q=\{y \in \mathbb{R}^N:|y_i|<1,i=1,2,\cdots,N\},\ Q^+=\{y \in Q: y_N>0\},\ \varGamma=\{y \in Q: y_N=0\}. 对所有 y \in Q^+，定义 v(y) = u(\varPsi_j(y))，通过作变量替换 x = \varPsi_j(\hat{x}) 就有 \begin{aligned} \int_{Q^{+}} \int_{Q^{+}} \frac{|v(\hat{x})-v(\hat{y})|^{p}}{|\hat{x}-\hat{y}|^{N+s(\varPsi_{j}(\hat{x}),\varPsi_{j}(\hat{y}))p}} \mathrm{d} \hat{x} \mathrm{d} \hat{y} & =\int_{Q^{+}} \int_{Q^{+}} \frac{\left|u\left(\varPsi_{j}(\hat{x})\right)-u\left(\varPsi_{j}(\hat{y})\right)\right|^{p}}{|\hat{x}-\hat{y}|^{N+s(\varPsi_{j}(\hat{x}),\varPsi_{j}(\hat{y}))p}} \mathrm{d} \hat{x} \mathrm{d} \hat{y} \\ & =C \int_{U_{j} \cap \Omega} \int_{U_{j} \cap \Omega} \frac{|u(x)-u(y)|^{p}}{\left|\varPsi_{j}^{-1}(x)-\varPsi_{j}^{-1}(y)\right|^{N+s(x,y)p}} \left|\operatorname{det}J_{\varPsi_{j}^{-1}}\right| \mathrm{d} x \mathrm{d} y \\ & \leqslant C \int_{U_{j} \cap \Omega} \int_{U_{j} \cap \Omega} \frac{|u(x)-u(y)|^{p}}{|x-y|^{N+s(x,y)p}} \mathrm{d} x \mathrm{d} y\\ & < + \infty, \end{aligned}这里利用了 \varPsi_j \in C^{0,1}(\overline{Q}). 因此就有 v_j \in W^{s(\varPsi_{j}(\cdot),\varPsi_{j}(\cdot)),p}(Q^+). 利用引理 3 将 v 延拓至 Q 上，即 \bar{v}_j(x)= \left\{ \begin{alignedat}{2} &v_j(y', y_N), \quad &&y \in Q^+,\\ &v_j(y', -y_N), &&y \in Q^-, \end{alignedat} \right.那么 \bar{v}_j \in W^{s(\varPsi_{j}(\cdot),\varPsi_{j}(\cdot)),p}(Q). 对所有 x \in U_j 定义 w_j(x) = \bar{v}_j(\varPsi_j^{-1}(x))，则在每个 U_j \cap \Omega 上都恒有 w_j = u. 用变量替换 x = \varPsi_j^{-1}(\hat{x}) 类似地有 \begin{aligned} \int_{U_j} \int_{U_j} \frac{|w_j(\hat{x})-w_j(\hat{y})|^{p}}{|\hat{x}-\hat{y}|^{N+s(\hat{x},\hat{y})p}} \mathrm{d} \hat{x} \mathrm{d} \hat{y} & =\int_{U_j} \int_{U_j} \frac{\left|\bar{v}_j\left(\varPsi_{j}^{-1}(\hat{x})\right)-\bar{v}_j\left(\varPsi_{j}^{-1}(\hat{y})\right)\right|^{p}}{|\hat{x}-\hat{y}|^{N+s(\hat{x},\hat{y})p}} \mathrm{d} \hat{x} \mathrm{d} \hat{y} \\ & =C\int_{Q} \int_{Q} \frac{|\bar{v}_j(x)-\bar{v}_j(y)|^{p}}{\left|\varPsi_{j}(x)-\varPsi_{j}(y)\right|^{N+s(\varPsi_{j}(x),\varPsi_{j}(y))p}} \left| \operatorname{det}J_{\varPsi_{j}}\right| \mathrm{d} x \mathrm{d} y \\ & \leqslant C \int_{Q} \int_{Q} \frac{|\bar{v}_j(x)-\bar{v}_j(y)|^{p}}{|x-y|^{N+s(\varPsi_{j}(x),\varPsi_{j}(y))p}} \mathrm{d} x \mathrm{d} y \\ \\ & < + \infty, \end{aligned}因此 w_j \in W^{s(\cdot,\cdot),p}(U_j). 利用引理 2 将 \eta_j w_j 延拓至全空间，即\widetilde{\eta_j w_j}(x)= \left\{ \begin{alignedat}{2} & \eta_j w_j(x), \quad &&x \in U_j,\\ &0, &&x \in \mathbb{R}^N \backslash U_j, \end{alignedat} \right.则 \widetilde{\eta_j w_j} \in W^{s(\cdot,\cdot),p}(\mathbb{R}^N).
\quad\quad最后，令 \tilde{u} = \widetilde{\eta_0 u} + \displaystyle \sum_{j=1}^k \widetilde{\eta_j w_j}，则 \tilde{u}|_{\Omega}=u. 这样就确定了嵌入映射 \mathcal{E}: W^{s(\cdot,\cdot),p}(\Omega) \to W^{s(\cdot,\cdot),p}(\mathbb{R}^N), \ u \mapsto \tilde{u}. 显然 \mathcal{E} 的图像是闭的，由闭图像定理可知 \mathcal{E} 连续，因此 W^{s(\cdot,\cdot),p}(\Omega) 连续地嵌入 W^{s(\cdot,\cdot),p}(\mathbb{R}^N).