\quad本文考虑如下的分数阶 Cahn-Hilliard 系统\begin{aligned}& u_t + (-\Delta)^s w = 0, && (x,t) \in \Omega \times (0,+\infty), \\ & w = (-\Delta)^{\sigma} u + g(u), && (x,t) \in \Omega \times (0,+\infty), \\ & u(0) = u_0, && x \in \Omega, \\ & u = w = 0, && (x,t) \in (\mathbb{R}^N \setminus \Omega) \times (0,+\infty), \end{aligned} \tag{FCH}其中\Omega \subset \mathbb{R}^N是带有光滑边界\partial \Omega的有界区域,s,\sigma \in (0,1),g是某个势函数\widehat{g} \in C^2(\mathbb{R})的导数，且g(0)=0.\quad此后，总是记\mathcal{X}_{s0}=\left\{v \in H^s(\mathbb{R}^N):v ~在~\mathbb{R}^N \setminus \Omega ~中几乎处处为~ 0\right\}.考虑 Hilbert 三重式\mathcal{X}_{s0} \xhookrightarrow[]{} L^2(\Omega) \simeq L^2(\Omega)'\xhookrightarrow[]{} \mathcal{X}_{s0}',这里的\mathcal{X}_{s0}'是通过L^2内积(\cdot,\cdot)定义的. 而\mathcal{X}_{s0}本身的内积为(v,w)_{\mathcal{X}_{s0}} \coloneqq \frac{C_{N,s}}{2}\iint_{\mathbb{R}^{2N}}\frac{(v(x)-v(y))(w(x)-w(y))}{|x-y|^{N+2s}} \mathrm{d}x \mathrm{d}y.容易证明，以上的两个嵌入都是紧的.\quad用\mathfrak{A}_s表示分数阶 Laplacian 的弱形式，它是\mathcal{X}_{s0}到\mathcal{X}_{s0}'的线性同胚，对于任意的u,v \in \mathcal{X}_{s0},有\langle \mathfrak{A}_s u,v \rangle_{\mathcal{X}_{s0}} \coloneqq \frac{C_{N,s}}{2}\iint_{\mathbb{R}^{2N}}\frac{(u(x)-u(y))(v(x)-v(y))}{|x-y|^{N+2s}} \mathrm{d}x \mathrm{d}y.可将\mathfrak{A}_s视为凸泛函Q(u) \coloneqq \frac{C_{N,s}}{4}\iint_{\mathbb{R}^{2N}}\frac{|u(x)-u(y)|^2}{|x-y|^{N+2s}} \mathrm{d}x \mathrm{d}y, \quad u \in \mathcal{X}_{s0}的 Fréchet 导数. \quad引理 1\ 对所有v \in \mathcal{X}_{s 0}, \ \|v\|_{\mathcal{X}_{s 0}} = \|\mathfrak{A}_s v\|_{\mathcal{X}_{s 0}'}.\quad证明 \ 一方面，对所有v,w \in \mathcal{X}_{s 0},\langle \mathfrak{A}_s v,w \rangle_{\mathcal{X}_{s0}} \coloneqq \frac{C_{N,s}}{2}\iint_{\mathbb{R}^{2N}}\frac{(v(x)-v(y))(w(x)-w(y))}{|x-y|^{N+2s}} \mathrm{d}x \mathrm{d}y \leqslant \|v\|_{\mathcal{X}_{s0}} \|w\|_{\mathcal{X}_{s0}},因此\|\mathfrak{A}_s v\|_{\mathcal{X}_{s 0}'} = \sup_{w \in \mathcal{X}_{s 0},w \ne 0} \frac{\langle \mathfrak{A}_s v, w \rangle_{\mathcal{X}_{s 0}}}{\|w\|_{\mathcal{X}_{s0}}} \leqslant \|v\|_{\mathcal{X}_{s 0}}.另一方面, 由\langle \mathfrak{A}_s v,v \rangle_{\mathcal{X}_{s0}} = \|v\|_{\mathcal{X}_{s0}}^2还能得到对v \ne 0,\|v\|_{\mathcal{X}_{s0}} = \frac{\langle \mathfrak{A}_s v, v \rangle_{\mathcal{X}_{s 0}}}{\|v\|_{\mathcal{X}_{s0}}} \leq \sup_{w \in \mathcal{X}_{s 0},w \ne 0} \frac{\langle \mathfrak{A}_s v, w \rangle_{\mathcal{X}_{s 0}}}{\|w\|_{\mathcal{X}_{s0}}} = \|\mathfrak{A}_s v\|_{\mathcal{X}_{s 0}'},而这对v = 0也成立. 综上有原命题成立.
\quad接下来给出 (FCH) 弱解的定义.\quad定义 1\ 对于T \in (0,+\infty], 称(u,w)为 (FCH) 在(0,T)上的弱解，当且仅当\quad\ \ (i)t \to 0^+时,u(t)在\mathcal{X}_{\sigma 0}中弱收敛到u_0;\quad \ (ii)u \in C_w([0,T);\mathcal{X}_{\sigma 0}), u_t \in L^2(0,T;\mathcal{X}_{s 0}'), w \in L^2(0,T;\mathcal{X}_{s 0});\quad(iii) 对所有\varphi \in \mathcal{X}_{s0}和\psi \in \mathcal{X}_{\sigma 0}和几乎所有的t \in (0,T)都有\begin{aligned} \langle u_t(t),\varphi\rangle_{\mathcal{X}_{s0}} & + \frac{C_{N,s}}{2}\iint_{\mathbb{R}^{2N}}\frac{(w(x,t)-w(y,t))(\varphi(x)-\varphi(y))}{|x-y|^{N+2s}} \mathrm{d}x \mathrm{d}y=0, \\ \int_{\Omega} w(t)\psi \mathrm{d}x &= \frac{C_{N,\sigma}}{2}\iint_{\mathbb{R}^{2N}}\frac{(u(x,t)-u(y,t))(\psi(x)-\psi(y))}{|x-y|^{N+2 \sigma}} \mathrm{d}x \mathrm{d}y + \int_{\Omega} g(u(t)) \psi \mathrm{d} x. \ \end{aligned}也可以将 (iii) 中的两个积分等式写为在\mathcal{X}_{s 0}'中u_t + \mathfrak{A}_s w = 0, \tag{1}在\mathcal{X}_{\sigma 0}'中w = \mathfrak{A}_{\sigma} u + g(u). \tag{2}\quad定义如下能量泛函\mathbb{E}_{\sigma}(v)=\left\{\begin{array}{ll} \displaystyle \frac{C_{N,\sigma}}{4}\iint_{\mathbb{R}^{2N}}\frac{|v(x)-v(y)|^2}{|x-y|^{N+2 \sigma}} \mathrm{d}x \mathrm{d}y + \int_{\Omega} \widehat{g}(v) \mathrm{d} x, & v \in D(\mathbb{E}_{\sigma}), \\ +\infty, & v \in \mathcal{X}_{\sigma 0} \setminus D(\mathbb{E}_{\sigma}), \end{array}\right.其中D(\mathbb{E}_{\sigma}) \coloneqq \left\{v \in \mathcal{X}_{\sigma 0} : \widehat{g}(v) \in L^1(\Omega)\right\}.\quad为了确保 (FCH) 弱解的存在性，引入以下三个假设：
(G1) 存在\lambda \geqslant 0使得对所有r \in \mathbb{R}都有g'(r) \geqslant -\lambda;
(G2)u_0 \in \mathcal{X}_{\sigma 0}, \widehat{g}(u_0) + \dfrac{\lambda}{2}u_0^2 \in L^1(\Omega);
(G3) 存在\kappa > 0使得\underset{|r| \to +\infty}{\underline{\text{lim}}} \left(g(r)r+(\lambda_1 - \kappa)r^2\right)>0,其中\lambda_1=\lambda_1(\sigma)>0是(-\Delta)^{\sigma}的主特征值，即\lambda_1 = \inf_{v \ne 0} \frac{\|v\|_{\mathcal{X}_{\sigma 0}}^2}{\|v\|_2^2} > 0.对所有r \in \mathbb{R}令\beta(r) \coloneqq g(r)+\lambda r,(G1) 保证了\beta是单调的C^1函数，且\beta(0)=0.这样便可将 (2) 写为，在\mathcal{X}_{\sigma 0}'中w = \mathfrak{A}_{\sigma} u + \beta(u) - \lambda u.\tag{3}(G2) 保证了u_0 \in D(\mathbb{E}_{\sigma}).记\widehat{\beta}(r) \coloneqq \widehat{g}(r) + \frac{\lambda}{2}r^2,则\widehat{\beta}'=\beta,(G2) 可写为u_0 \in \mathcal{X}_{\sigma 0}, \widehat{\beta}(u_0) \in L^1(\Omega).(G3) 保证了\mathbb{E}_{\sigma}的强制性.\quad引理 2\ 在条件 (G3) 下，存在C \geqslant 0和\kappa_0 > 0使得对所有v \in \mathcal{X}_{\sigma 0}都有\mathbb{E}_{\sigma}(v) \geqslant \kappa_0 \|v\|_{\mathcal{X}_{\sigma 0}}^2 - C.\quad证明 \ 令\varPsi(r) \coloneqq \widehat{g}(r) + \dfrac{\lambda_1-\kappa}{2} r^2.条件 (G3) 意味着存在R > 0和\delta > 0使得对任意r \in (-\infty,-R)\cup (R,+\infty)都有g(r)r+(\lambda_1 - \kappa)r^2 = \varPsi'(r)r \geqslant \delta.当r>R时，由\varPsi'(r) \geqslant \frac{\delta}{r} > 0可知\varPsi(r)>\varPsi(R).而当r<-R时，由\varPsi'(r) \leqslant \frac{\delta}{r} < 0有\varPsi(r)>\varPsi(-R).因此对所有r \in \mathbb{R}都有\varPsi(r) \geqslant \mu \coloneqq \min \left\{\varPsi(R),\varPsi(-R),\min_{|s| \leqslant R} \varPsi(s)\right\},即对所有r \in \mathbb{R}都有\widehat{g}(r) \geqslant - \frac{\lambda_1-\kappa}{2} r^2 + \mu,从而对所有v \in \mathcal{X}_{\sigma 0}都有\int_{\Omega}\widehat{g}(v) \mathrm{d} x \geqslant - \frac{\lambda_1-\kappa}{2} \|v\|_2^2 + \mu |\Omega|.取C=\max\{0,-\mu |\Omega|\}便得到\int_{\Omega}\widehat{g}(v) \mathrm{d} x \geqslant - \frac{\lambda_1-\kappa}{2} \|v\|_2^2 - C \geqslant -\frac{\lambda_1-\kappa}{2 \lambda_1} \|v\|_{\mathcal{X}_{\sigma 0}}^2 - C.进一步地，\mathbb{E}_{\sigma}(v) \geqslant \frac{1}{2} \|v\|_{\mathcal{X}_{\sigma 0}}^2 - \frac{\lambda_1-\kappa}{2 \lambda_1} \|v\|_{\mathcal{X}_{\sigma 0}}^2 - C = \kappa_0 \|v\|_{\mathcal{X}_{\sigma0}}^2 - C,其中\kappa_0=\dfrac{\kappa}{2\lambda_1}.\quad如下的全局适定性结果可由标准的 Rothe 方法和 Yosida 逼近技巧得到，该工作属于 G. Akagi.\quad定理 1\ 在条件 (G1)-(G3) 下, (FCH) 在(0,+\infty)上存在唯一的弱解(u,w),且g(u) \in L_{\mathrm{loc}}^2(0,+\infty;L^2(\Omega)).此外,t \mapsto \mathbb{E}_{\sigma}(u(t))在[0,+\infty)上单调不增且右连续;t \mapsto u(t)在[0,+\infty)上在\mathcal{X}_{\sigma 0}的强拓扑下右连续. 进一步地，对几乎所有的t \in (0,+\infty),\|w(t)\|_{\mathcal{X}_{\sigma 0}}^2+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \mathbb{E}_{\sigma}(u(t)) \leqslant 0, \tag{4}对所有\tau \in [0,t],\int_{\tau}^t \|w(r)\|_{\mathcal{X}_{\sigma 0}}^2 \mathrm{d} r + \mathbb{E}_{\sigma}(u(t)) \leqslant \mathbb{E}_{\sigma}(u(\tau)). \tag{5}\quad利用 Yosida 逼近技巧容易得到如下推论.\quad推论 1\ 设 (G1)-(G3) 成立,(u,w)是 (FCH) 在(0,+\infty)上的弱解. 那么对所有T>0,存在C_T>0使得\sup_{t \geqslant 0} \int_t^{t+T} \|\beta(u(\tau))\|_2^2 \mathrm{d} \tau \leqslant C_T. \tag{6}\quad证明 \ 考虑单调函数\beta的 Yosida 逼近\beta_{\varepsilon}(r) \coloneqq \dfrac{1}{\varepsilon}(r-j_{\varepsilon}(r))=\beta(j_{\varepsilon}(r)),其中j_{\varepsilon}(r)=(I+\varepsilon \beta)^{-1}(r).Yosida 逼近的性质告诉我们,\beta_{\varepsilon}(r)是单调且常数为\dfrac{1}{\varepsilon}的 Lipschitz 映射，并对所有r \in \mathbb{R}有|\beta_{\varepsilon}(r)| \leqslant |\beta(r)|且{}\displaystyle \lim_{\varepsilon \to 0^+} \beta_{\varepsilon}(r) = \beta(r). \ \beta_{\varepsilon}的 Lipschitz 连续性和u \in \mathcal{X}_{\sigma 0}意味着\iint_{\mathbb{R}^{2N}}\frac{|\beta_{\varepsilon}(u(x))-\beta_{\varepsilon}(u(y))|^2}{|x-y|^{N+2\sigma}} \mathrm{d}x \mathrm{d}y \leqslant \frac{1}{\varepsilon^2} \iint_{\mathbb{R}^{2N}}\frac{|u(x)-u(y)|^2}{|x-y|^{N+2\sigma}} \mathrm{d}x \mathrm{d}y < +\infty,即\beta_{\varepsilon}(u)\in \mathcal{X}_{\sigma 0}. \ \beta_{\varepsilon}的单调性又意味着\langle \mathfrak{A}_{\sigma} u,\beta_{\varepsilon}(u) \rangle_{\mathcal{X}_{s0}} = \frac{C_{N,\sigma}}{2}\iint_{\mathbb{R}^{2N}}\frac{(u(x,t)-u(y,t))(\beta_{\varepsilon}(u(x,t))-\beta_{\varepsilon}(u(y,t)))}{|x-y|^{N+2\sigma}} \mathrm{d}x \mathrm{d}y \geqslant 0.结合 (3) 便有(\beta(u),\beta_{\varepsilon}(u)) = (w+\lambda u - \mathfrak{A}_{\sigma} u,\beta_{\varepsilon}(u)) \leqslant (w+\lambda u, \beta_{\varepsilon}(u)).对每个x \in \Omega,取y=j_{\varepsilon}(u(x))=(I+\varepsilon \beta)^{-1}(u(x)),则u(x)-y=\varepsilon \beta(y)=\varepsilon \beta_{\varepsilon}(u(x)),结合\beta的单调性，即(\beta(u(x))-\beta(y))(u(x)-y) \geqslant 0便有\varepsilon (\beta(u(x))-\beta_{\varepsilon}(u(x))) \beta_{\varepsilon}(u(x)) \geqslant 0, \tag{7}因此\|\beta_{\varepsilon}(u)\|_{2}^2 \leqslant (\beta(u),\beta_{\varepsilon}(u)).从而对所有t \geqslant 0和T>0,\int_{t}^{t+T}\|\beta_{\varepsilon}(u(\tau))\|_{2}^2 \mathrm{d} \tau \leqslant \int_{t}^{t+T} (w(\tau)+\lambda u(\tau), \beta_{\varepsilon}(u(\tau))) \mathrm{d} \tau.由于\beta_{\varepsilon}(u(\tau,x))在\Omega \times (t,t+T)上几乎处处收敛到\beta(u(\tau,x)),且\beta(u) \in L_{\mathrm{loc}}^2(0,+\infty;L^2(\Omega)),结合控制收敛定理可知\beta_{\varepsilon}(u)在L^2(t,t+T;L^2(\Omega))上强收敛到\beta(u(\tau,x)).在 (7) 两端令\varepsilon \to 0^+便得到\|\beta(u(\tau))\|_{L^2(t,t+T;L^2(\Omega))}^2 \leqslant \int_{t}^{t+T} (w(\tau)+\lambda u(\tau), \beta(u(\tau))) \mathrm{d} \tau. \tag{8}由 Cauchy 不等式和 Minkowski 不等式还有\int_{t}^{t+T} (w(\tau)+\lambda u(\tau), \beta(u(\tau))) \mathrm{d} \tau \leqslant \frac{1}{2} \|\beta(u(\tau))\|_{L^2(t,t+T;L^2(\Omega))}^2 + \|w\|_{L^2(t,t+T;L^2(\Omega))}^2 + \lambda^2 \|u\|_{L^2(t,t+T;L^2(\Omega))}^2,与 (8) 结合便得到\|\beta(u(\tau))\|_{L^2(t,t+T;L^2(\Omega))}^2 \leqslant C \|w\|_{L^2(0,+\infty;\mathcal{X}_{\sigma 0})}^2 + CT \|u\|_{L^{\infty}(0,+\infty;\mathcal{X}_{\sigma 0})}^2,上式右端是一个与T有关的常数C_T > 0.(6) 由此得证.\quad注\ 形式地取\beta(u)作为 (2) 的测试函数就能得到 (6). Yosida 逼近技术严谨地实现了这一想法.\quad此后总是假设 (G1)-(G3) 成立. 接下来的结果讨论了u(t)的非空 𝜔-极限集的存在性.\quad定理 2\ 设(u,w)是 (FCH) 在(0,+\infty)上的弱解. 那么对所有满足t_n \to +\infty \ (n \to \infty)的序列(t_n)_{n \geq 1},都存在其子列（仍用(t_n)表示）和\phi \in \mathcal{X}_{\sigma 0}使得n \to \infty时,u(t_n)在\mathcal{X}_{\sigma 0}中强收敛到\phi,且\mathbb{E}_{\sigma}(u(t_n)) \to \mathbb{E}_{\sigma}(\phi).另外,g(\phi) \in L^2(\Omega),且\phi是稳态问题\mathfrak{A}_{\sigma} \phi + g(\phi) = 0 \tag{9}在\mathcal{X}_{\sigma 0}'中的解. 特别地,u(t)的 𝜔-极限集非空且包含于 (9) 的所有解所构成的集合内.\quad证明\ 此后用C \geqslant 0代表与t无关（但可能与\mathbb{E}_{\sigma}(u_0)有关）的常数. 首先由能量不等式 (5) 和\mathbb{E}_{\sigma}的强制性有\int_0^{+\infty} \|w(r)\|_{\mathcal{X}_{s 0}}^2 \mathrm{d} r + \sup_{t \geqslant 0}\|u(t)\|_{\mathcal{X}_{\sigma 0}}^2 \leqslant C, \tag{10}再结合 (1) 还有\int_0^{+\infty} \|u_t(r)\|_{\mathcal{X}_{s 0}'}^2 \mathrm{d} r \leqslant C.对给定的满足t_n \to +\infty \ (n \to \infty)的(t_n)_{n \geq 1},令a_n \coloneqq \displaystyle \int_{t_n-1}^{t_n} \|u_t(r)\|_{\mathcal{X}_{s 0}'}^2 \mathrm{d} r,则a_n \to 0.与 (6) 结合便有a_n^{-1} \int_{t_n-1}^{t_n} \|u_t(r)\|_{\mathcal{X}_{s 0}'}^2 \mathrm{d} r + \int_{t_n-1}^{t_n} \|\beta(u(r))\|_{2}^2 \mathrm{d} r \leqslant C,故存在\tau_n \in [t_n-1,t_n)使得a_n^{-1}\|u_t(\tau_n)\|_{\mathcal{X}_{s 0}'}^2 + \|\beta(u(\tau_n))\|_{2}^2 \leqslant C,这意味着存在n的子序列（不另记）使得u_t(\tau_n)在\mathcal{X}_{s 0}'中强收敛到0,且\beta(u(\tau_n))在L^2(\Omega)中弱收敛到某个\xi \in L^2(\Omega).结合 (1) 还有\mathfrak{A}_s w(\tau_n)在\mathcal{X}_{s 0}'中强收敛到0,且w(\tau_n)在\mathcal{X}_{s 0}中强收敛到0.另外，由 (10) 与\mathcal{X}_{\sigma 0}紧嵌入L^2(\Omega)这一事实，还能得知u(\tau_n)在\mathcal{X}_{\sigma 0}中弱收敛到某个\phi \in \mathcal{X}_{\sigma 0},在L^2(\Omega)中强收敛到\phi,并且\mathfrak{A}_{\sigma} u(\tau_n)在\mathcal{X}_{\sigma 0}'中弱收敛到\mathfrak{A}_{\sigma} \phi.\quad由于\beta单调，它是半闭的，故\beta(u(\tau_n))在L^2(\Omega)中弱收敛到\xi以及u(\tau_n)在L^2(\Omega)中强收敛到\phi意味着\xi=\beta(\phi),进一步还有\lim_{n \to \infty} (\beta(u(\tau_n)), u(\tau_n))=(\beta(\phi), \phi). \tag{11}另一方面, 由 (3) 还可以得到\mathfrak{A}_{\sigma} u(\tau_n) + \beta(u(\tau_n)) = w(\tau_n) + \lambda u(\tau_n)在L^2(\Omega)中强收敛到\lambda \phi,从而在L^2(\Omega)中,\mathfrak{A}_{\sigma} \phi + \beta(\phi) = \lambda \phi.因此\phi \in \mathcal{X}_{\sigma 0}是 (9) 在\mathcal{X}_{\sigma 0}'中的解. 另外，由 (11) 还有\lim_{n \to \infty} \|u(\tau_n)\|_{\mathcal{X}_{\sigma 0}}^2 = \lim_{n \to \infty} (w(\tau_n) + \lambda u(\tau_n)-\beta(u(\tau_n)), u(\tau_n))=(-g(\phi), \phi) = \|\phi\|_{\mathcal{X}_{\sigma 0}}^2. \tag{12}因为\mathcal{X}_{\sigma 0}一致凸且u(\tau_n)在\mathcal{X}_{\sigma 0}中弱收敛到\phi,所以有u(\tau_n)在\mathcal{X}_{\sigma 0}中强收敛到\phi.\quad由\widehat{\beta}的凸性有\widehat{\beta}(\phi)-\widehat{\beta}(u(\tau_n)) \geqslant \beta(u(\tau_n)) (\phi-u(\tau_n)),从而\underset{n \to \infty}{\overline{\text{lim}}} \int_{\Omega} \widehat{\beta}(u(\tau_n)) \mathrm{d} x \leqslant \int_{\Omega} \widehat{\beta}(\phi) \mathrm{d} x + \lim_{n \to \infty} (\beta(u(\tau_n)), u(\tau_n)-\phi) = \int_{\Omega} \widehat{\beta}(\phi) \mathrm{d} x,再由\widehat{\beta}的下半连续性便有\lim_{n \to \infty} \int_{\Omega} \widehat{\beta}(u(\tau_n)) \mathrm{d} x = \int_{\Omega} \widehat{\beta}(\phi) \mathrm{d} x,结合 (12) 就得到了\mathbb{E}_{\sigma}(u(\tau_n)) \to \mathbb{E}_{\sigma}(\phi).而\mathbb{E}_{\sigma}(u(\cdot))是单调不增的，因此对一般的t_n \to +\infty都有\mathbb{E}_{\sigma}(u(t_n)) \to \mathbb{E}_{\sigma}(\phi)(n \to \infty).\quad接下来，由n \to \infty时\|u(t_n)-u(\tau_n)\|_{\mathcal{X}_{s 0}'} \leqslant \int_{\tau_n}^{t_n} \|\partial_{\tau} u(\tau)\|_{\mathcal{X}_{s 0}'}^2 \mathrm{d} \tau \leqslant \left(\int_{\tau_n}^{+\infty} \|\partial_{\tau} u(\tau)\|_{\mathcal{X}_{s 0}'}^2 \mathrm{d} \tau\right)^{\frac{1}{2}} \sqrt{t_n - \tau_n} \to 0和\|u(t_n)-\phi\|_{\mathcal{X}_{s 0}'} \leqslant \|u(t_n)-u(\tau_n)\|_{\mathcal{X}_{s 0}'} + \|u(\tau_n)-\phi\|_{\mathcal{X}_{s 0}'}便有u(t_n)在\mathcal{X}_{s 0}'中强收敛到\phi.由 (10) 还有u(t_n)在\mathcal{X}_{\sigma 0}中弱收敛到\phi且在L^2(\Omega)中强收敛到\phi.在\frac{1}{2}\|u(t_n)\|_{\mathcal{X}_{\sigma 0}}^2 = \mathbb{E}_{\sigma}(u(t_n)) - \int_{\Omega} \widehat{\beta}(u(t_n)) \mathrm{d} x + \frac{\lambda}{2} \|u(t_n)\|_2^2两边取上极限，就得到\begin{aligned}\frac{1}{2} \underset{n \to \infty}{\overline{\text{lim}}} \|u(t_n)\|_{\mathcal{X}_{\sigma 0}}^2 & \leqslant \lim_{n \to \infty} \mathbb{E}_{\sigma}(u(t_n)) - \underset{n \to \infty}{\underline{\text{lim}}} \int_{\Omega} \widehat{\beta}(u(t_n)) \mathrm{d} x + \frac{\lambda}{2} \lim_{n \to \infty} \|u(t_n)\|_2^2 \\ & \leqslant \mathbb{E}_{\sigma}(\phi) - \int_{\Omega} \widehat{\beta}(\phi) \mathrm{d} x + \frac{\lambda}{2} \|\phi\|_2^2 = \frac{1}{2} \|\phi\|_{\mathcal{X}_{\sigma 0}}^2,\end{aligned}再结合\mathcal{X}_{\sigma 0}的一致凸性最终就得到了u(t_n)在\mathcal{X}_{\sigma 0}中强收敛到\phi.
\quad为了克服分数阶 Laplace 算子正则性的缺陷，对p \in (1,+\infty),引入如下函数空间X_p^{\sigma} \coloneqq \{u \in \mathcal{X}_{\sigma 0} \cap L^p(\Omega): \mathfrak{A}_{\sigma} u \in L^p(\Omega)\},并为其赋予如下的图范数\|u\|_{X_p^{\sigma}} \coloneqq \|u\|_p + \|u\|_{\mathcal{X}_{\sigma 0}} + \|\mathfrak{A}_{\sigma} u\|_p.\quad引理 3\ (X. Ros-Oton, J. Serra) 设\Omega \subset \mathbb{R}^N是带有C^{1,1}边界的有界区域,s \in (0,1), p \in (1,+\infty), g \in L^p(\Omega),且u是问题\begin{aligned}&(-\Delta)^{\sigma} u = g, && x \in \Omega, \\ & u = 0, && x \in \mathbb{R}^N \setminus \Omega \end{aligned} \tag{FD}的弱解，则\quad\ \ (i) 若N<2\sigma,则\|u\|_{\infty} \lesssim \|g\|_1;若N=2\sigma,则\|u\|_q \lesssim \|g\|_1 \ (q < +\infty)且\|u\|_{\infty} \lesssim \|g\|_{p};\quad\ (ii) 若N>2\sigma且1<p<\dfrac{N}{2\sigma},则\|u\|_q \lesssim \|g\|_p,这里q=\dfrac{Np}{N-2\sigma p};\quad(iii) 若N>2\sigma且p>\dfrac{N}{2\sigma},则\|u\|_{C^{\beta}(\mathbb{R}^N)} \lesssim \|g\|_p,这里\beta=\min\left\{\sigma,2\sigma-\dfrac{N}{p}\right\}.\quad利用以上引理可以得到如下关于空间X_p^{\sigma}的重要性质. 需要特别指出的是,当N>2\sigma时, 由嵌入\mathcal{X}_{\sigma 0} \xhookrightarrow[]{} L^{\frac{2N}{N-2\sigma}}(\Omega)可知, 为了使L^p(\Omega) \xhookrightarrow[]{} \mathcal{X}_{\sigma 0}',需要p'=\dfrac{p}{p-1} \leqslant \dfrac{2N}{N-2\sigma},即p \geqslant \dfrac{2N}{N+2\sigma}.此时, 对所有g \in L^p(\Omega),(FD) 有唯一的弱解.\quad性质 1\ 设\Omega \subset \mathbb{R}^N是带有C^{1,1}边界的有界区域. 则下列叙述成立：\quad\ \ (i)X_p^{\sigma}是一致凸的 Banach 空间;\quad\ (ii) 若N>2\sigma且p>\dfrac{N}{2\sigma},则X_p^{\sigma}连续地嵌入C^{\beta}(\mathbb{R}^N),这里\beta=\min\left\{\sigma,2\sigma-\dfrac{N}{p}\right\}.\quad(iii) 若p \geqslant \dfrac{2N}{N+2\sigma},则|u|_{X_p^{\sigma}} \coloneqq \|\mathfrak{A}_{\sigma} u\|_p是\|\cdot\|_{X_p^{\sigma}}的一个等价范数.\quad证明\ (i) \|\cdot\|_{X_p^{\sigma}}显然是X_p^{\sigma}的一个范数. 为了证明完备性，设(u_n)是X_p^{\sigma}中的 Cauchy 列，则u_n在\mathcal{X}_{\sigma 0} \cap L^p(\Omega)中强收敛到某个u,且\mathfrak{A}_{\sigma} u_n在\mathcal{X}_{\sigma 0}'中强收敛到\mathfrak{A}_{\sigma} u.同时,(\mathfrak{A}_{\sigma} u_n)在L^p(\Omega)中形成一个 Cauchy 列，因此\mathfrak{A}_{\sigma} u_n也在L^p(\Omega)中强收敛到\mathfrak{A}_{\sigma} u.从而u \in X_p^{\sigma}且u_n在X_p^{\sigma}中强收敛u.故X_p^{\sigma}是 Banach 空间. 下证其一致凸性. 定义\mathcal{T}: X_p^{\sigma} \to L^p(\Omega) \times \mathcal{X}_{\sigma 0} \times L^p(\Omega), \quad u \mapsto (u,u,\mathfrak{A}_{\sigma} u),由\|u\|_{X_p^{\sigma}} \sim \|\mathcal{T}(u)\|_p可知\mathcal{T}是线性等距，这里 \|(u,v,w)\|_p \coloneqq \left(\|u\|_p^p + \|v\|_{\mathcal{X}_{\sigma 0}}^p + \|w\|_p^p\right)^{\frac{1}{p}}.对于在X_p^{\sigma}中强收敛于u的序列(u_n),有\mathcal{T}(u_n) = (u_n,u_n,\mathfrak{A}_{\sigma} u_n)在L^p(\Omega) \times \mathcal{X}_{\sigma 0} \times L^p(\Omega)中收敛到\mathcal{T}(u) = (u,u,\mathfrak{A}_{\sigma} u),因此\mathcal{T}(X_p^{\sigma})是L^p(\Omega) \times \mathcal{X}_{\sigma 0} \times L^p(\Omega)的闭子空间，而一致凸空间的有限\ell^p直和与闭子空间都仍是一致凸的，因此X_p^{\sigma}是一致凸的 Banach 空间.\quad(ii) 注意到p > \dfrac{N}{2\sigma} \geqslant \dfrac{2N}{N+2\sigma}.由引理 3 (ii) 立即得证.\quad(iii) 对于u \in X_p^{\sigma},由引理 3 (i) 可知，当N \leqslant 2\sigma时,\|u\|_p \lesssim \|\mathfrak{A}_{\sigma} u\|_p.当N > 2\sigma时，若p<\dfrac{N}{2\sigma},由引理 3 (ii) 并注意到q=\dfrac{Np}{N-2\sigma p}>p便有\|u\|_p \lesssim \|u\|_q \lesssim \|\mathfrak{A}_{\sigma} u\|_p.若p>\dfrac{N}{2\sigma},由引理 3 (iii) 就得到\|u\|_p \lesssim \|u\|_{\infty} \lesssim \|\mathfrak{A}_{\sigma} u\|_p.如果p=\dfrac{N}{2\sigma},考虑\widetilde{p} \in \left(\dfrac{N}{4\sigma},\dfrac{N}{2\sigma}\right),由引理 3 (ii) 可知\|u\|_p \lesssim \|u\|_{\widetilde{q}} \lesssim \|\mathfrak{A}_{\sigma} u\|_{\widetilde{p}} \lesssim \|\mathfrak{A}_{\sigma} u\|_p,其中\widetilde{q}=\dfrac{N\widetilde{p}}{N-2\sigma \widetilde{p}}> \dfrac{N}{2\sigma} = p.综上有\|u\|_p \lesssim \|\mathfrak{A}_{\sigma} u\|_p对所有p \in (1,+\infty)成立. \quad再次强调p \geqslant \dfrac{2N}{N+2\sigma}意味着L^{p'}(\Omega) \xhookrightarrow[]{} \mathcal{X}_{\sigma 0},因此对u \in X_p^{\sigma},\|u\|_{\mathcal{X}_{\sigma 0}}^2 = \langle \mathfrak{A}_{\sigma} u,u \rangle_{\mathcal{X}_{\sigma 0}} \lesssim \|\mathfrak{A}_{\sigma} u\|_p \|u\|_{p'} \lesssim \|\mathfrak{A}_{\sigma} u\|_p \|u\|_{\mathcal{X}_{\sigma 0}},即\|u\|_{\mathcal{X}_{\sigma 0}} \lesssim \|\mathfrak{A}_{\sigma} u\|_p,原命题由此得证.
\quad从现在开始，我们的主要目标是推导\mathbb{E}_{\sigma}(\cdot)所满足的 Łojasiewicz–Simon 梯度不等式. 这基于有限维版本的 Łojasiewicz 梯度不等式.\quad引理 4\ (Łojasiewicz) 设x_0 \in \mathbb{R}^N,\ f: \mathbb{R}^N \to \mathbb{R}在x_0的某个邻域U内实解析. 那么，存在\theta \in \left(0,\dfrac{1}{2}\right]和常数C,\delta>0使得对所有x \in B_{\delta}(x_0) \cap U都有|f(x)-f(x_0)|^{1-\theta} \leqslant C|\nabla f(x)|.\quad为证明 \mathbb{E}_{\sigma}(\cdot)所满足的 Łojasiewicz–Simon 不等式需要在 (G1)-(G3) 的基础上添加更强的假设. 具体地，还需要如下的实解析性条件与 Sobolev（次）临界增长条件：
(H1) 对于a,b \in (0,+\infty],\ g \in C^{\infty}(-a,b),且存在常数C,M \geqslant 0使得对所有s \in (-a,b)和充分大的n \in \mathbb{N},都有|g^{(n)}(s)| \leqslant CM^n n!.
(H2) 对于b \in (0,+\infty],\ g \in C^{\infty}(0,b),且存在常数C,M \geqslant 0使得对所有s \in (0,b)和充分大的n \in \mathbb{N},都有|g^{(n)}(s)| \leqslant C \dfrac{M^n n!}{|s|^n}.
(H3) 存在常数C \geqslant 0和q \in \left[2,2_{\sigma}^*\right] \cap [2,+\infty)使得对所有s \in \mathbb{R},都有|g'(s)| \leqslant C (|s|^{q-2}+1).\quad(H1) 意味着对每个s_0 \in (a,b),Taylor 级数{}\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{g^{(n)}(s_0)}{n!} (s-s_0)^n在(-a,b) \cap \left(s_0 - \dfrac{1}{2M},s_0 + \dfrac{1}{2M}\right)上一致收敛到g(s).这对应着g为多项式、三角函数或指数函数等实解析函数的情况. (H2) 则是g^{(n)}(s)以原点为奇点的情况，满足它的典型例子是指数为非整数的幂函数. 由于 (H3) 中q \geqslant 2,它意味着存在常数C \geqslant 0使得对所有s \in \mathbb{R},都有|g(s)| \leq C (|s|^{q-1}+1), \quad |\widehat{g}(s)| \leq C(|s|^{q}+1).由\mathcal{X}_{\sigma 0} \xhookrightarrow[]{} L^q(\Omega)和\widehat{g} \in C^2(\mathbb{R})可知G(u) \coloneqq \displaystyle \int_{\Omega} \widehat{g}(u(x)) \mathrm{d} x在\mathcal{X}_{\sigma 0}中是C^2的，且G': u \mapsto g(u(\cdot))是从L^q(\Omega)到L^{q'}(\Omega)的C^1的 Nemytskii 算子. 更进一步，当条件 (H3) 满足时,\mathbb{E}_{\sigma}在\mathcal{X}_{\sigma 0}中是C^2的. 我们可以分别求出\mathbb{E}_{\sigma}':\mathcal{X}_{\sigma 0} \to \mathcal{X}_{\sigma 0}'和\mathbb{E}_{\sigma}'':\mathcal{X}_{\sigma 0} \to \mathcal{L}(\mathcal{X}_{\sigma 0}, \mathcal{X}_{\sigma 0}').对任意h \in \mathcal{X}_{\sigma 0},由\langle \mathbb{E}_{\sigma}'(v),h \rangle_{\mathcal{X}_{\sigma 0}} = \left. \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \varepsilon} \mathbb{E}_{\sigma}(v+\varepsilon h) \right|_{\varepsilon=0}=\langle \mathfrak{A}_{\sigma} v,h \rangle_{\mathcal{X}_{\sigma 0}} + \int_{\Omega} g(v)h \mathrm{d} x就有\mathbb{E}_{\sigma}'(v)=\mathfrak{A}_{\sigma}v+g(v).再次求导便有\mathbb{E}_{\sigma}''(v)h=\left. \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \varepsilon} \mathbb{E}_{\sigma}'(v+\varepsilon h) \right|_{\varepsilon=0}=\mathfrak{A}_{\sigma}h+g'(v)h.\quad此后，在考虑 (FCH) 的稳态，也就是 (9) 的解\phi时总假设其有界，即\phi \in \mathcal{X}_{\sigma 0} \cap L^{\infty}(\Omega).现在考虑\mathbb{E}_{\sigma}'在\phi处的线性化算子\mathscr{L}(\phi):\mathcal{X}_{\sigma 0} \to \mathcal{X}_{\sigma 0}'.对于u \in \mathcal{X}_{\sigma 0},它由\mathscr{L}(\phi)u \coloneqq \mathbb{E}_{\sigma}''(\phi)u=\mathfrak{A}_{\sigma}u+g'(\phi)u给出. 记\mathcal{N} \coloneqq \operatorname*{ker}(\mathscr{L}(\phi)) = \{v \in \mathcal{X}_{\sigma 0} : \mathscr{L}(\phi)v = 0\}.\quad引理 5\ \operatorname*{dim}\mathcal{N} < +\infty.\ \ \ 证明\ 记T_1 \coloneqq - \mathfrak{A}_{\sigma}^{-1} g'(\phi) : \mathcal{X}_{\sigma 0} \to \mathcal{X}_{\sigma 0}.由g'(\phi) \in L^{\infty}(\Omega)可知T_1有界. 下证T_1在\mathcal{X}_{\sigma 0}中是紧的. 取\mathcal{X}_{\sigma 0}中的有界序列(u_n),由\|g'(\phi) u_n\|_2 \lesssim \| u_n\|_2 \lesssim \| u_n\|_{\mathcal{X}_{\sigma 0}} \leqslant C和L^2(\Omega)紧嵌入\mathcal{X}_{\sigma 0}'可知g'(\phi) u_n在\mathcal{X}_{\sigma 0}'中有强收敛子列，即T_1 u_n = -\mathfrak{A}_{\sigma}^{-1} g'(\phi) u_n在\mathcal{X}_{\sigma 0}中有强收敛子列，因此T_1是紧算子. Riesz-Schauder 理论表明\operatorname*{dim}\operatorname*{ker}(I-T_1)< +\infty.而\mathfrak{A}_{\sigma}: \mathcal{X}_{\sigma 0} \to \mathcal{X}_{\sigma 0}是单射，因此\operatorname*{ker}(I-T_1)=\operatorname*{ker}(\mathfrak{A}_{\sigma}(I-T_1)).于是\mathscr{L}(\phi)=\mathfrak{A}_{\sigma}(I-T_1)的核也是有限维的.\quad性质 2\ 设p \geqslant 2, \ h \in L^p(\Omega).若u \in \mathcal{X}_{\sigma 0}是\mathscr{L}(\phi)u = h \tag{LP}的一个解，则u \in X_p^{\sigma}.特别地,\mathcal{N} \subset X_p^{\sigma}.\quad记P为L^2(\Omega)到\mathcal{N}的投影. \quad性质 3\ (i)\mathscr{L}(\phi)+P是\mathcal{X}_{\sigma 0}到\mathcal{X}_{\sigma 0}'的线性同胚.\quad(ii) 对于p \geqslant 2,\ \mathscr{L}(\phi)+P是X_p^{\sigma}到L^p(\Omega)的线性同胚.\quad证明\ (i) 我们知道,\mathfrak{A}_{\sigma}是\mathcal{X}_{\sigma 0}到\mathcal{X}_{\sigma 0}'的线性同胚. 原命题等价于\mathfrak{A}_{\sigma}^{-1}(\mathscr{L}(\phi)+P)=I+\mathfrak{A}_{\sigma}^{-1} (g'(\phi)+P)是\mathcal{X}_{\sigma 0}上的线性自同胚. 记T_2 \coloneqq \mathfrak{A}_{\sigma}^{-1} (g'(\phi)+P),则T_2有界. 下证T_2在\mathcal{X}_{\sigma 0}中是紧的. 取\mathcal{X}_{\sigma 0}中的有界序列(f_n),由\|(g'(\phi) + P) f_n\|_2 \lesssim \| f_n\|_2 \lesssim \| f_n\|_{\mathcal{X}_{\sigma 0}} \leqslant C和L^2(\Omega)紧嵌入\mathcal{X}_{\sigma 0}'可知(g'(\phi) + P) f_n在\mathcal{X}_{\sigma 0}'中有强收敛子列，即T_2 u_n = -\mathfrak{A}_{\sigma}^{-1} (g'(\phi) + P) f_n在\mathcal{X}_{\sigma 0}中有强收敛子列，因此T_2是紧算子. \quad现在证I-T_2是单射. 考虑u \in \operatorname*{ker}(I-T_2)=\operatorname*{ker}(\mathfrak{A}_{\sigma}(I-T_2)),即满足\mathscr{L}(\phi)u+Pu=0的u \in \mathcal{X}_{\sigma 0}.作分解u = u^0 + u^{\perp},其中u^0 \in \mathcal{N}, \ u^{\perp} \in \mathcal{N}^{\perp}.注意到\mathscr{L}(\phi) u^0 = 0, \ Pu^0 = u^0, \ P u^{\perp} = 0便有\mathscr{L}(\phi) u^{\perp} + u^0 = 0,进而\left\langle\mathscr{L}(\phi) u^{\perp}, u^0\right\rangle_{\mathcal{X}_{\sigma 0}}+ \|u^0\|_2^2 = 0.再由\mathscr{L}(\phi)的对称性有\left\langle\mathscr{L}(\phi) u^{\perp}, u^0\right\rangle_{\mathcal{X}_{\sigma 0}} = \left\langle u^{\perp}, \mathscr{L}(\phi) u^0\right\rangle_{\mathcal{X}_{\sigma 0}}=0,因此\|u^0\|_2 = 0,即u^0 = 0.由\mathscr{L}(\phi) u^{\perp} + u^0 = \mathscr{L}(\phi) u^{\perp} = 0就有u^{\perp} \in \mathcal{N},而u^{\perp} \in \mathcal{N}^{\perp},因此只能有u^{\perp} = 0,于是u = 0,这说明\operatorname*{ker}(I-T_2)=\{0\},即I-T_2是单射. 由 Fredholm 二择一定理可知I-T_2也是满射. 既然I-T_2是连续的线性双射，由开映射定理便有(I-T_2)^{-1}也连续，即\mathfrak{A}_{\sigma}^{-1}(\mathscr{L}(\phi)+P)=I-T_2是\mathcal{X}_{\sigma 0}上的线性自同胚，故\mathscr{L}(\phi)+P=\mathfrak{A}_{\sigma}(I-T_2)是\mathcal{X}_{\sigma 0}到\mathcal{X}_{\sigma 0}'的线性同胚.\quad(ii) 由于X_p^{\sigma} \in \mathcal{X}_{\sigma 0}, \ \mathscr{L}(\phi)+P是\mathcal{X}_{\sigma 0}到\mathcal{X}_{\sigma 0}'的单射意味着它是X_p^{\sigma}到L^p(\Omega)的单射. 下证它是满射. 对于h \in L^p(\Omega) \subset L^2(\Omega),仍可作分解h = h_1 + h_2,其中h_1 \in \mathcal{N}^{\perp} \cap L^p(\Omega) \subset L^2(\Omega) \subset \mathcal{X}_{\sigma 0}'而h_2 \in \mathcal{N} \subset X_p^{\sigma} \subset L^p(\Omega).由 (i) 可知，存在u_1 \in \mathcal{X}_{\sigma 0}使得\mathscr{L}(\phi)u_1+Pu_1=h_1.那么对任意v \in \mathcal{N},\left\langle\mathscr{L}(\phi) u_1, v\right\rangle_{\mathcal{X}_{\sigma 0}}+(Pu_1,v)=(h_1,v).注意到\mathscr{L}(\phi)=0, \ (h_1,v)=0并结合\mathscr{L}(\phi)的对称性就有(Pu_1,v)=0,因此Pu_1 \in \mathcal{N}^{\perp},从而只能有Pu_1=0,即u_1 \in \mathcal{N}^{\perp};同时还有\mathscr{L}(\phi)u_1=h_1 \in L^p(\Omega).由性质 2 可知u_1 \in X_p^{\sigma}.记u \coloneqq u_1 + h_2 \in X_p^{\sigma},注意到\mathscr{L}(\phi)h_2=0, \ Ph_1 = 0就有h=h_1+h_2=\mathscr{L}(\phi)u_1+Ph_2=\mathscr{L}(\phi)(u_1+h_2)+P(u_1+h_2)=(\mathscr{L}(\phi)+P)(u),这说明\mathscr{L}(\phi)+P是X_p^{\sigma}到L^p(\Omega)的满射.\quad现在证连续性. 对任意的u \in X_p^{\sigma},由于\mathcal{N}是有限维的，有\|Pu\|_p \lesssim \|Pu\|_2 \leqslant \|u\|_2 \lesssim \|u\|_p.另一方面，\|\mathscr{L}(\phi) u\|_p \leqslant \|\mathfrak{A}_{\sigma} u\|_p + \|g'(\phi) u\|_p \leqslant \|u\|_{X_p^{\sigma}} + C \|u\|_p.因此\|\mathscr{L}(\phi) u + Pu\|_p \leqslant \|\mathscr{L}(\phi) u\|_p + \|P u\|_p \lesssim \|u\|_{X_p^{\sigma}},即\mathscr{L}(\phi)+P是X_p^{\sigma}到L^p(\Omega)的有界线性算子. 由开映射定理就完成了证明.
\quad现在叙述本文的最关键结果，即\mathbb{E}_{\sigma}(\cdot)所满足的 Łojasiewicz–Simon 梯度不等式.\quad定理 3\ 设N > 2 \sigma, \ \phi \in \mathcal{X}_{\sigma 0} \cap L^{\infty}(\Omega)为 (9) 的一个解.\quada) 若以下二者之一成立：\quad \ \ (i)a=b=+\infty;(H1) 和 (H3) 成立；\quad \ (ii)b=+\infty且在\Omega上几乎处处有\phi > 0;(H2) 和 (H3) 成立，
则存在\theta \in \left(0,\dfrac{1}{2}\right]和常数\omega,\delta>0使得对所有满足\|v-\phi\|_{\mathcal{X}_{\sigma 0}}<\delta的v \in \mathcal{X}_{\sigma 0}都有|\mathbb{E}_{\sigma}(v)-\mathbb{E}_{\sigma}(\phi)|^{1-\theta} \leqslant \omega \|\mathfrak{A}_{\sigma} v + g(v)\|_{\mathcal{X}_{\sigma 0}'}. \tag{13}\quadb) 设\eta,\gamma >0.若以下二者之一成立：\quad(iii)\gamma,\eta < \min \{a, b\}<+\infty,且\|\phi\|_{\infty}<\gamma;(H1) 成立；\quad(iv)\gamma,\eta<b<+\infty且在\Omega上几乎处处有0<\phi < \gamma;(H2) 成立，
则存在\theta \in \left(0,\dfrac{1}{2}\right]和常数\omega,\delta>0使得对所有满足\|v-\phi\|_{\mathcal{X}_{\sigma 0}}<\delta和\|v\|_{\infty} < \eta的v \in \mathcal{X}_{\sigma 0}都有 (13) 成立.\quad注\ 为了使\mathbb{E}_{\sigma}在\mathcal{X}_{\sigma 0}中是C^2的，在考虑情况 (iii) 和 (iv) 时实际上需要将g替换为\widetilde{g} \in C^1(\mathbb{R}^N),它满足：当|s|<\max \{\gamma,\eta\}时\widetilde{g}(s)=g(s),且存在M_0 > 0使得|s|>\max \{\gamma,\eta\} + 1时|g(s)| \leqslant M_0.这样的\widetilde{g}满足 (H3), 因此将\mathbb{E}_{\sigma}中的g替换为\widetilde{g}后，只需 (i)-(iv) 四者之一成立就能保证替换后的\widetilde{\mathbb{E}}_{\sigma}在\mathcal{X}_{\sigma 0}中是C^2的. 因为这样的替换实际上不影响情况 (iii) 和 (iv) 下 (13) 的形式，此后如果没有歧义，仍用g和\mathbb{E}_{\sigma}表示\widetilde{g}和\widetilde{\mathbb{E}}_{\sigma}.\quad这个定理的证明主要依赖于\mathbb{E}_{\sigma}'的解析性. 其中最困难的部分在于处理情况 (ii) 和 (iv) 中g在原点附近的奇性. 以下两个引理提供了克服这一困难的工具.\quad引理 6\ (X. Ros-Oton, J. Serra) 设\Omega \subset \mathbb{R}^N是带有C^{1,1}边界\partial \Omega的有界区域,s \in (0,1), \ g \in L^{\infty}(\Omega),且u是问题 (FD) 的弱解. 记\delta(x)=\operatorname*{dist}(x,\partial \Omega),则\left.\dfrac{u}{\delta^s}\right|_{\Omega}可连续地延拓至\overline{\Omega},且存在常数\alpha \in \left(0,\min\{s,1-s\}\right)使得\left\|\dfrac{u}{\delta^s}\right\|_{C^{\alpha}(\overline{\Omega})} \lesssim \|g\|_{\infty}.\quad引理 7\ (A. Greco, R. Servadei) 设\Omega \subset \mathbb{R}^N满足一致内球条件,c \in L^{\infty}(\Omega), \ u: \mathbb{R}^N \to \mathbb{R}下半连续且对几乎所有x \in \Omega有(-\Delta)^s u(x) \geqslant c(x)u(x).若在\mathbb{R}^N上u \geqslant 0,那么，要么u在\Omega上恒为 0, 要么存在\delta_0>0使得对所有x \in \partial \Omega都有\underset{B_x \ni z \to x}{\underline{\text{lim}}} \frac{u(z)}{\delta(z)^s} \geqslant \delta_0,这里\delta(z)=\operatorname*{dist}(z,\partial B_x), \ z \in B_x.\quad性质 4\ 在定理 3 的条件下, 对p > \dfrac{N}{\sigma}, \ \mathbb{E}_{\sigma}' + P: X_p^{\sigma} \to L^p(\Omega)在\phi(在X_p^{\sigma}的强拓扑下) 的一个邻域内解析.\quad证明\ 由\mathfrak{A}_{\sigma} \phi = -g(\phi) \in L^{\infty}(\Omega)可知\phi \in X_p^{\sigma}.对于\mathfrak{A}_{\sigma}: \mathcal{X}_{\sigma 0} \to \mathcal{X}_{\sigma 0}',我们知道,\mathfrak{A}_{\sigma}'(\cdot) \equiv \mathfrak{A}_{\sigma},以及n \geqslant 2时\mathfrak{A}_{\sigma}^{(n)} \equiv 0.对任意u, e \in \mathcal{X}_{\sigma 0},由\mathfrak{A}_{\sigma}(u+e) = \mathfrak{A}_{\sigma}u + \mathfrak{A}_{\sigma}'(u)e可知\mathfrak{A}_{\sigma}在\mathcal{X}_{\sigma 0}中解析. 注意到对任意v, h \in X_p^{\sigma}都有\|\mathfrak{A}_{\sigma}'(v)h\|_p = \|\mathfrak{A}_{\sigma}h\|_p \leqslant \|h\|_{X_p^{\sigma}}可知\mathfrak{A}_{\sigma}'(v) \in \mathcal{L}(X_p^{\sigma}, L^p(\Omega)).因此\mathfrak{A}_{\sigma}作为X_p^{\sigma}到L^p(\Omega)的算子在X_p^{\sigma}中解析. 同理，对于P: L^2(\Omega) \to \mathcal{N},我们知道,P'(\cdot) \equiv P,以及n \geqslant 2时P^{(n)} \equiv 0.对任意u, e \in \mathcal{X}_{\sigma 0},由P(u+e) = Pu + P'(u)e可知P在L^2(\Omega)中解析. 再注意到对任意v, h \in X_p^{\sigma}都有\|P'(v)h\|_p = \|Ph\|_p \lesssim \|Ph\|_2 \leqslant \|h\|_2 \lesssim \|h\|_{X_p^{\sigma}}可知P'(v) \in \mathcal{L}(X_p^{\sigma}, L^p(\Omega)).因此P作为X_p^{\sigma}到L^p(\Omega)的算子在X_p^{\sigma}中解析. 综上有u \mapsto \mathfrak{A}_{\sigma}u+Pu : X_p^{\sigma} \to L^p(\Omega)在X_p^{\sigma}中解析. 此后只需考虑u \mapsto g(u) : X_p^{\sigma} \to L^p(\Omega)的解析性.\quad对于情况 (i), 固定v \in X_p^{\sigma}.取h \in X_p^{\sigma}使得\|h\|_{X_p^{\sigma}} \leqslant r,这里的r>0可以取得足够小. 由性质 1 (ii) 可知存在常数C_{p,\sigma} > 0使得\|h\|_{\infty} \leqslant C_{p,\sigma}\|h\|_{X_p^{\sigma}} \leqslant C_{p,\sigma} r.取r>0使得MC_{p,\sigma} r<\dfrac{1}{2},那么对几乎所有x \in \Omega,g(v(x)+h(x)) = g(v(x)) + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{g^{(n)}(v(x))}{n!} h(x)^n, \tag{14}右端的级数在\Omega上是一致收敛的. 记T: v \mapsto g(v(\cdot)),由性质 1 (ii) 可知T是X_p^{\sigma}到L^p(\Omega)的算子. 对v,h_1,\dots,h_n \in X_p^{\sigma},记T_n(v)[h_1,\dots,h_n] \coloneqq \frac{g^{(n)}(v(x))}{n!} h_1(x) \cdots h_n(x),那么\begin{aligned} \left\|T_{n}(v)\right\|_{\mathcal{L}^{n}\left(X_{p}^{\sigma}, L^{p}(\Omega)\right)} & =\sup _{\left\|h_{j}\right\|_{X_{p}^{\sigma}}=1}\left\|\frac{g^{(n)}(v(x))}{n!} h_{1}(x) \cdots h_{n}(x)\right\|_{p} \\ & \leqslant C M^{n} \sup_{\left\|h_{j}\right\|_{X_{p}^{\sigma}}=1}\left\|h_{1}(x) \cdots h_{n}(x)\right\|_{p} \\ & \leqslant C|\Omega|^{\frac{1}{p}} M^{n}\sup_{\left\|h_{j}\right\|_{X_{p}^{\sigma}}=1}\left\|h_{1}(x)\right\|_{\infty} \cdots\left\|h_{n}(x)\right\|_{\infty} \\ & \leqslant C|\Omega|^{\frac{1}{p}} M^{n} C_{p, \sigma}^{n}.\end{aligned}因此\sup_{n \in \mathbb{N}} \left\|T_n(v)\right\|_{\mathcal{L}^n\left(X_p^{\sigma}, L^p(\Omega)\right)} r^n \leqslant C|\Omega|^{\frac{1}{p}} \sup_{n \in \mathbb{N}} (MC_{p, \sigma}r)^n < +\infty,故T: X_p^{\sigma} \to L^p(\Omega)在X_p^{\sigma}中解析，从而\mathbb{E}_{\sigma}' + P也在X_p^{\sigma}中解析.\quad对于情况 (ii), 取v \in X_p^{\sigma}使得\|v-\phi\|_{X_p^{\sigma}}<\varepsilon,其中\varepsilon>0可以取得足够小. 仍取h \in X_p^{\sigma}使得\|h\|_{X_p^{\sigma}} \leqslant r,这里的r>0可以取得足够小. 由于\phi \in L^{\infty}(\Omega),由引理 6 可知存在\alpha>0使得\dfrac{\phi(x)}{\operatorname*{dist}(x,\partial \Omega)^{\sigma}} \in C^{\alpha}(\overline{\Omega}).另一方面，由于\phi在\Omega上几乎处处为正，还可知对几乎所有x \in \Omega有\dfrac{\phi(x)}{\operatorname*{dist}(x,\partial \Omega)^{\sigma}} > 0.现在记c(x) \coloneqq -\dfrac{g(\phi(x))}{\phi(x)},由s \mapsto -\dfrac{g(s)}{s}的连续性和{} \displaystyle \lim_{s \to 0^+}\dfrac{g(s)}{s} = g'(0)有限便有c \in L^{\infty}(\Omega).由p > \dfrac{N}{\sigma}与性质 1 (ii) 可知\phi \in C^{\sigma}(\mathbb{R}^N),自然有\phi : \mathbb{R}^N \to \mathbb{R}下半连续. 再注意到\phi满足(-\Delta)^{\sigma} \phi = c \phi以及在\mathbb{R}^N上总有\phi \geqslant 0,运用引理 7 就有\underset{\Omega \ni y \to x}{\underline{\text{lim}}} \dfrac{\phi(y)}{\operatorname*{dist}(y,\partial \Omega)^{\sigma}} > 0对所有x \in \partial \Omega都成立. 综合以上可知，存在常数C_0 > 0,使得对所有的x \in \overline{\Omega}都有\phi(x) \geqslant C_0 \operatorname*{dist}(x,\partial \Omega)^{\sigma}.记e \coloneqq \phi - v - h,则e \in X_p^{\sigma} \xhookrightarrow[]{} C^{\sigma}(\mathbb{R}^N),且对所有y \in \partial \Omega都有e(y) = 0.那么对所有x \in \Omega,|e(x)| \leqslant [e]_{C^{\sigma}(\mathbb{R}^N)} \operatorname*{dist}(x,\partial \Omega)^{\sigma} \leqslant \|e\|_{C^{\sigma}(\mathbb{R}^N)} \operatorname*{dist}(x,\partial \Omega)^{\sigma}.因此只要\varepsilon和r的选取使得\eta \coloneqq C_0 - C(\varepsilon + r) > 0,就有\begin{aligned} v(x)+h(x) &= \phi(x)+e(x) \geqslant \phi(x)-|e(x)| \\ & \geqslant C_0 \operatorname*{dist}(x,\partial \Omega)^{\sigma} - \|\phi - v - h\|_{C^{\sigma}(\mathbb{R}^N)} \operatorname*{dist}(x,\partial \Omega)^{\sigma} \\ & \geqslant C_0 \operatorname*{dist}(x,\partial \Omega)^{\sigma} - C\left(\|\phi - v\|_{X_p^{\sigma}} + \|h\|_{X_p^{\sigma}}\right) \operatorname*{dist}(x,\partial \Omega)^{\sigma} \\ & \geqslant (C_0 - C(\varepsilon + r)) \operatorname*{dist}(x,\partial \Omega)^{\sigma} = \eta \operatorname*{dist}(x,\partial \Omega)^{\sigma} > 0.\end{aligned}在上式中取h \equiv 0还有v(x) \geqslant \eta \operatorname*{dist}(x,\partial \Omega)^{\sigma}.由于h_j \in X_p^{\sigma} \xhookrightarrow[]{} C^{\sigma}(\mathbb{R}^N),与e类似地，存在\widetilde{C}_{\sigma,p}>0使得所有x \in \Omega,|h_j(x)| \leqslant \|h_j\|_{C^{\sigma}(\mathbb{R}^N)} \operatorname*{dist}(x,\partial \Omega)^{\sigma} \leqslant \widetilde{C}_{\sigma,p} \|h_j\|_{X_p^{\sigma}} \operatorname*{dist}(x,\partial \Omega)^{\sigma}.那么\left|\frac{g^{(n)}(v(x))}{n!} h_{1}(x) \cdots h_{n}(x)\right| \leqslant CM^n \left|\frac{h_{1}(x) \cdots h_{n}(x)}{v(x)^n} \right| \leqslant CM^n\widetilde{C}^n_{\sigma,p} \frac{\|h_1\|_{X_p^{\sigma}} \cdots \|h_n\|_{X_p^{\sigma}}}{\eta^n}.选取r和\varepsilon使得\dfrac{M\widetilde{C}_{\sigma,p}r}{\eta}<\dfrac{1}{2},则对几乎所有x \in \Omega仍有 (14) 成立且其右端级数一致收敛，另外由\left\|T_{n}(v)\right\|_{\mathcal{L}^{n}\left(X_{p}^{\sigma}, L^{p}(\Omega)\right)} = \sup _{\left\|h_{j}\right\|_{X_{p}^{\sigma}}=1}\left\|\frac{g^{(n)}(v(x))}{n!} h_{1}(x) \cdots h_{n}(x)\right\|_{p} \leqslant |\Omega|^{\frac{1}{p}} \frac{CM^n\widetilde{C}^n_{\sigma,p}}{\eta^n}还有\sup_{n \in \mathbb{N}} \left\|T_n(v)\right\|_{\mathcal{L}^n\left(X_p^{\sigma}, L^p(\Omega)\right)} r^n \leqslant C|\Omega|^{\frac{1}{p}} \sup_{n \in \mathbb{N}} \left(\frac{M\widetilde{C}_{\sigma,p}r}{\eta}\right)^n < +\infty,这说明T: X_p^{\sigma} \to L^p(\Omega)在\phi的 𝜀-邻域内 (在X_p^{\sigma}的强拓扑下) 解析.\quad对于情况 (iii), 仍取v, h \in X_p^{\sigma}使得\|v-\phi\|_{X_p^{\sigma}}<\varepsilon, \ \|h\|_{X_p^{\sigma}} < r,其中\varepsilon>0和r>0可以取得足够小. 由于\|\phi\|_{\infty}< \gamma < \min \{a, b\},结合X_p^{\sigma} \xhookrightarrow[]{} C^{\sigma}(\mathbb{R}^N)可知，对足够小的\varepsilon使得\|v\|_{\infty} \leqslant \|\phi\|_{\infty} + C_{p,\sigma} \varepsilon < \min \{a, b\}.进一步地，还可以要求r足够小使得\|v + h\|_{\infty} \leqslant \|v\|_{\infty} + \|h\|_{\infty} \leqslant \|\phi\|_{\infty} + C_{p,\sigma} (\varepsilon + r) < \min \{a, b\},且MC_{p,\sigma} r<\dfrac{1}{2}.此时 (14) 成立且其右端级数一致收敛. 与 (i) 类似地可证T: X_p^{\sigma} \to L^p(\Omega)在\phi的 𝜀-邻域内 (在X_p^{\sigma}的强拓扑下) 解析.\quad对于情况 (iv), 与 (ii) 类似地取\varepsilon>0和r>0足够小，并确保v + h < b,由类似 (ii) 的过程可以证明T: X_p^{\sigma} \to L^p(\Omega)在\phi的 𝜀-邻域内 (在X_p^{\sigma}的强拓扑下) 解析.\quad推论 2\ 在性质 4 的条件下, \mathbb{E}_{\sigma}在\phi的一个邻域V_{p,0}内 (在X_p^{\sigma}的强拓扑下) 解析.\quad证明\ 固定v \in X_p^{\sigma}.性质 4 中已经证明了\mathbb{E}_{\sigma}' : X_p^{\sigma} \to L^p(\Omega)在\phi的一个邻域V_{p,0}内解析. 因此，对所有n \in \mathbb{N}和t \in [0,1],存在r>0和有界n线性型T_n : (X_p^{\sigma})^n \to L^p(\Omega)使得对满足\|h\|_{X_p^{\sigma}}<r的h \in X_p^{\sigma},\mathbb{E}_{\sigma}'(v+th)=\mathbb{E}_{\sigma}'(v)+\sum_{n=1}^{\infty} t^n [T_n(v)](\underbrace{h,\dots,h}_{n \ 个}), \tag{15}且\sum_{n=1}^{\infty} t^n \Big\| [T_n(v)](\underbrace{h,\dots,h}_{n \ 个}) \Big\|_p \leqslant \sum_{n=1}^{\infty} \|T_n(v)\|_{\mathcal{L}^n(X_p^{\sigma},L^p(\Omega))} \|h\|_{X_p^{\sigma}}^n < +\infty.故 (15) 右端级数对t \in [0,1]一致收敛. 于是\begin{aligned} \mathbb{E}_{\sigma}(v+h) - \mathbb{E}_{\sigma}(v) & = \int_{0}^{1} \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t } \mathbb{E}_{\sigma}(v+th) \mathrm{d} t \\ & = \int_{0}^{1}\left\langle\mathbb{E}_{\sigma}'(v+t h), h\right\rangle_{\mathcal{X}_{\sigma 0}} \mathrm{d} t \\ & = \int_{0}^{1}\left\langle h, \mathbb{E}_{\sigma}'(v)+\sum_{n = 1}^{\infty} t^{n}\left[T_{n}(v)\right](\underbrace{h, \ldots, h}_{n \ 个})\right\rangle_{L^{p}(\Omega)} \mathrm{d} t \\ & = \left\langle h, \mathbb{E}_{\sigma}'(v)\right\rangle_{L^{p}(\Omega)}+\sum_{n = 1}^{\infty}\left\langle h, \frac{1}{n+1}\left[T_{n}(v)\right](\underbrace{h, \ldots, h}_{n \ 个})\right\rangle_{L^{p}(\Omega)}. \end{aligned}定义\widehat{T}_n(v)(h_1,h_2,\cdot,h_n) \coloneqq \frac{1}{n} \left\langle h_n, \left[T_{n-1}(v)\right](h_1,h_2,\cdot,h_{n-1})\right\rangle_{L^{p}(\Omega)},则\sup_{n \in \mathbb{N}} \|\widehat{T}_n(v)\|_{\mathcal{L}^n\left(X_p^{\sigma}, L^p(\Omega)\right)} r^n \leqslant \sup_{n \in \mathbb{N}} \frac{Cr}{n} \left\|T_{n-1}(v)\right\|_{\mathcal{L}^{n-1}\left(X_p^{\sigma}, L^p(\Omega)\right)} r^{n-1}< +\infty,因此\mathbb{E}_{\sigma}也在V_{p,0}内解析.\quad推论 3\ 在性质 4 的条件下，存在P \phi(在\mathcal{X}_{\sigma 0}'的强拓扑下) 的邻域U^*和\phi(在\mathcal{X}_{\sigma 0}的强拓扑下) 的邻域V^*,使得B \coloneqq (\mathbb{E}_{\sigma}' + P)^{-1}是从U^*到V^*的C^1映射. 进一步地，存在P \phi(在L^p(\Omega)的强拓扑下) 的邻域U_p \subset U^*和\phi(在X_p^{\sigma}的强拓扑下) 的邻域V_p \subset V^*,使得B:U_p \to V_p在U_p内解析.\quad证明\ 由于\mathbb{E}_{\sigma}' + P: \mathcal{X}_{\sigma 0} \to \mathcal{X}_{\sigma 0}' 是C^1的，且它在\phi处的导数\mathscr{L}(\phi)+P是\mathcal{X}_{\sigma 0}到\mathcal{X}_{\sigma 0}'的线性同胚 (见性质 3 (i)), 由反函数定理便得到第一个结论. 性质 4 告诉我们, \mathbb{E}_{\sigma}' + P: X_p^{\sigma} \to L^p(\Omega)至少在\phi的一个邻域V_{p,0}内 (在X_p^{\sigma}的强拓扑下) 解析. 因为\mathscr{L}(\phi)+P也是X_p^{\sigma}到L^p(\Omega)的线性同胚 (见性质 3 (ii)), 由解析反函数定理可知，可以取U_p \subset U^*和V_p \subset V^* \cap V_{p,0}使得B:U_p \to V_p在U_p内解析.
\quad由H(u) \coloneqq \mathbb{E}_{\sigma} \circ B|_{\mathcal{N}}(u)定义\mathcal{N} \cap U_p上的泛函H.接下来用有限维版本的 Łojasiewicz 梯度不等式证明如下的关键结论.\quad性质 5\ 在定理 3 的条件下, 存在\theta \in \left(0,\dfrac{1}{2}\right]和常数C,\delta>0使得对所有满足\|u-\phi\|_{\mathcal{X}_{\sigma 0}}<\delta的u \in \mathcal{X}_{\sigma 0}都有|\mathbb{E}_{\sigma}(B \circ Pu)-\mathbb{E}_{\sigma}(\phi)|^{1-\theta} \leqslant C \|H'(Pu)\|_{\mathcal{N}'}. \tag{16}\quad证明\ 由\mathbb{E}_{\sigma}在V_{p,0}内解析可知H在\mathcal{N} \cap U_p内解析. 对u \in \mathcal{N} \cap U_p和v \in \mathcal{N} \subset \mathcal{X}_{\sigma 0}',\langle H'(u), v \rangle_{\mathcal{N}} = \langle \mathbb{E}_{\sigma}'(Bu), B'(u)v \rangle_{\mathcal{X}_{\sigma 0}}. \tag{17}设\psi_1, \dots, \psi_{N_0}是\mathcal{N}的正交基. 对\xi \in \mathbb{R}^{N_0},记F(\xi) = H \left(\sum_{i=1}^{N_0} \xi_i \psi_i\right).对\nu \in \mathcal{N}和P \phi \in \mathcal{N}作分解\nu = \sum_{i=1}^{N_0} n_i \psi_i, \quad P \phi = \sum_{i=1}^{N_0} p_i \psi_i,由 Łojasiewicz 不等式可知存在\theta \in \left(0,\dfrac{1}{2}\right]和常数C,\delta_0>0使得当|n-p| \lesssim \|\nu - P \phi\|_{\mathcal{N}} < \delta_0时，|H(\nu)-H(\phi)|^{1-\theta}=|F(n)-F(p)|^{1-\theta} \leqslant C|\nabla F(n)| \lesssim C \|H'(\nu)\|_{\mathcal{N}'}. \tag{18}这里的\delta_0可以取得足够小使得\nu \in U_p.另外，由\mathbb{E}_{\sigma}'(\phi) = 0可知H(\phi)=\mathbb{E}_{\sigma}(B \circ P \phi) = \mathbb{E}_{\sigma}(B \circ (\mathbb{E}_{\sigma}' + P) \phi) = \mathbb{E}_{\sigma}(\phi).现在取\delta>0使得u \in \mathcal{X}_{\sigma 0}满足\|u-\phi\|_{\mathcal{X}_{\sigma 0}}<\delta,那么\|Pu-P \phi\|_{\mathcal{N}} \lesssim \|Pu-P \phi\|_2 \leqslant \|u-\phi\|_2 \lesssim \|Pu-P \phi\|_{\mathcal{X}_{\sigma 0}} < \delta.在 (18) 中取\nu = Pu就得到了 (16).\quad性质 6\ 在定理 3 的条件下, 存在\theta \in \left(0,\dfrac{1}{2}\right]和常数C,\delta>0使得对所有满足\|u-\phi\|_{\mathcal{X}_{\sigma 0}}<\delta的u \in \mathcal{X}_{\sigma 0}都有\|H'(Pu)\|_{\mathcal{N}'} \leqslant C \|\mathbb{E}'_{\sigma}(u)\|_{\mathcal{X}_{\sigma 0}'}. \tag{19}\quad证明\ 由B':U^* \to \mathcal{L}(\mathcal{X}_{\sigma 0}', \mathcal{X}_{\sigma 0})在P \phi处的连续性可知当\delta足够小时，对所有满足\|Pu-P\phi\|_{\mathcal{X}_{\sigma 0}'} \lesssim \|u-\phi\|_{\mathcal{X}_{\sigma 0}}<\delta的u \in \mathcal{X}_{\sigma 0}都有\|B'(Pu)\|_{\mathcal{L}(\mathcal{X}_{\sigma 0}', \mathcal{X}_{\sigma 0})} \leqslant C.由 (17) 就有\begin{aligned} \|H'(Pu)\|_{\mathcal{N}'} & \leqslant \|\mathbb{E}'_{\sigma}(B \circ Pu)\|_{\mathcal{X}_{\sigma 0}'} \|B'(Pu)\|_{\mathcal{L}(\mathcal{X}_{\sigma 0}', \mathcal{X}_{\sigma 0})} \leqslant C \|\mathbb{E}'_{\sigma}(B \circ Pu)\|_{\mathcal{X}_{\sigma 0}'} \\ & \leqslant C \left(\|\mathbb{E}'_{\sigma}(u) \|_{\mathcal{X}_{\sigma 0}'}+\|\mathbb{E}'_{\sigma}(B \circ Pu) - \mathbb{E}'_{\sigma}(u) \|_{\mathcal{X}_{\sigma 0}'}\right). \end{aligned}记\gamma(u,v)为连接u与v的线段. 对于h \in \gamma(0,\mathbb{E}'_{\sigma}(u)),有\begin{aligned} \|Pu+h-P \phi\|_{\mathcal{X}_{\sigma 0}'} & \leqslant \|Pu-P \phi\|_{\mathcal{X}_{\sigma 0}'} + \|h\|_{\mathcal{X}_{\sigma 0}'} \\ & \lesssim \|u-\phi\|_{\mathcal{X}_{\sigma 0}} + \|\mathbb{E}'_{\sigma}(u) \|_{\mathcal{X}_{\sigma 0}'} \leqslant \delta + \|\mathbb{E}'_{\sigma}(u)\|_{\mathcal{X}_{\sigma 0}'}. \end{aligned}由中值定理有\begin{aligned} \|\mathbb{E}'_{\sigma}(u)\|_{\mathcal{X}_{\sigma 0}'} &= \|\mathbb{E}'_{\sigma}(u) - \mathbb{E}'_{\sigma}(\phi)\|_{\mathcal{X}_{\sigma 0}'} \\ & \leqslant \sup_{v \in \gamma(u,\phi)} \|\mathbb{E}''_{\sigma}(v)\|_{\mathcal{L}(\mathcal{X}_{\sigma 0},\mathcal{X}_{\sigma 0}')} \|u-\phi\|_{\mathcal{X}_{\sigma 0}} \leqslant \sup_{v \in \gamma(u,\phi)} \|\mathbb{E}''_{\sigma}(v)\|_{\mathcal{L}(\mathcal{X}_{\sigma 0},\mathcal{X}_{\sigma 0}')} \delta. \end{aligned}由\mathbb{E}''_{\sigma}:\mathcal{X}_{\sigma 0} \to \mathcal{L}(\mathcal{X}_{\sigma 0}, \mathcal{X}_{\sigma 0}')在\phi处的连续性可知当\delta足够小时,\|\mathbb{E}'_{\sigma}(u)\|_{\mathcal{X}_{\sigma 0}'} \lesssim \delta,因此Pu+h在P\phi的一个邻域内 (也在U^*内). 再次由B':U^* \to \mathcal{L}(\mathcal{X}_{\sigma 0}', \mathcal{X}_{\sigma 0})在P \phi处的连续性便有\sup_{h \in \gamma(0,\mathbb{E}'_{\sigma}(u))} \|B'(Pu+h)\|_{\mathcal{L}(\mathcal{X}_{\sigma 0}', \mathcal{X}_{\sigma 0})} \leqslant C.另一方面，由中值定理和B':U^* \to \mathcal{L}(\mathcal{X}_{\sigma 0}', \mathcal{X}_{\sigma 0})在P \phi处的连续性还有\begin{aligned} \|B \circ Pu - \phi\|_{\mathcal{X}_{\sigma 0}} &= \|B \circ Pu - B \circ (\mathbb{E}'_{\sigma}+P) \phi\|_{\mathcal{X}_{\sigma 0}} \\ &= \|B \circ Pu - B \circ P \phi\|_{\mathcal{X}_{\sigma 0}} \\&\leqslant \sup_{h \in \gamma(Pu,P \phi)} \|B'(h)\|_{\mathcal{L}(\mathcal{X}_{\sigma 0}', \mathcal{X}_{\sigma 0})} \|Pu-P \phi\|_{\mathcal{X}_{\sigma 0}'} \\ &\leqslant C \|u-\phi\|_{\mathcal{X}_{\sigma 0}} \lesssim \delta,\end{aligned}即B \circ Pu在\phi的一个邻域内. 进一步地，由中值定理还得到\begin{aligned}\|B \circ P u-u\|_{\mathcal{X}_{\sigma 0}} & = \left\|B \circ P u-B \circ\left(\mathbb{E}_{\sigma}'+P\right) u\right\|_{\mathcal{X}_{\sigma 0}} \\& \leqslant \sup_{h \in \gamma(0,\mathbb{E}'_{\sigma}(u))} \|B'(Pu+h)\|_{\mathcal{L}(\mathcal{X}_{\sigma 0}', \mathcal{X}_{\sigma 0})}\left\|\mathbb{E}_{\sigma}'(u)\right\|_{\mathcal{X}_{\sigma 0}'} \leqslant C\left\|\mathbb{E}_{\sigma}'(u)\right\|_{\mathcal{X}_{\sigma 0}'}.\end{aligned} \tag{20}再次由\mathbb{E}''_{\sigma}:\mathcal{X}_{\sigma 0} \to \mathcal{L}(\mathcal{X}_{\sigma 0}, \mathcal{X}_{\sigma 0}')在\phi处的连续性可知对h \in \gamma(B \circ Pu,u)有\|\mathbb{E}''_{\sigma}(u)\|_{\mathcal{L}(\mathcal{L}(\mathcal{X}_{\sigma 0},\mathcal{X}_{\sigma 0}')} \leqslant C.现在由中值定理就得到\left\|\mathbb{E}_{\sigma}'(B \circ P u)-\mathbb{E}_{\sigma}'(u)\right\|_{\mathcal{X}_{\sigma 0}'} \leqslant \sup _{h \in \gamma(B \circ P u, u)}\left\|\mathbb{E}_{\sigma}''(h)\right\|_{\mathcal{L}\left(\mathcal{X}_{\sigma 0}, \mathcal{X}_{\sigma 0}'\right)}\|B \circ P u-u\|_{\mathcal{X}_{\sigma 0}} \leqslant C\left\|\mathbb{E}_{\sigma}'(u)\right\|_{\mathcal{X}_{\sigma 0}'},从而有 (19) 成立.\quad现在，利用性质 5 与性质 6 便可完成定理 3 的证明.\quad定理 3 的证明\ 由 Taylor 定理结合\mathbb{E}''_{\sigma}:\mathcal{X}_{\sigma 0} \to \mathcal{L}(\mathcal{X}_{\sigma 0}, \mathcal{X}_{\sigma 0}')在\phi处的连续性与 (20) 可知，当\delta足够小时，对所有满足\|u-\phi\|_{\mathcal{X}_{\sigma 0}}<\delta的u \in \mathcal{X}_{\sigma 0}都有\begin{aligned} &|\mathbb{E}_{\sigma}(B \circ Pu)-\mathbb{E}_{\sigma}(u)| \\ \leqslant & \|\mathbb{E}_{\sigma}'(u)\|_{\mathcal{X}_{\sigma 0}'} \|B \circ Pu - u\|_{\mathcal{X}_{\sigma 0}'} + \frac{1}{2} \sup_{h \in \gamma(B \circ Pu,u)} \|\mathbb{E}_{\sigma}''(h)\|_{\mathcal{L}(\mathcal{X}_{\sigma 0},\mathcal{X}_{\sigma 0}')} \|B \circ Pu - u\|_{\mathcal{X}_{\sigma 0}'}^2 \\ \leqslant & C \|\mathbb{E}_{\sigma}'(u)\|_{\mathcal{X}_{\sigma 0}'}^2. \end{aligned}结合性质 5 与性质 6 可知存在\theta \in \left(0,\dfrac{1}{2}\right]使得|\mathbb{E}_{\sigma}(B \circ Pu)-\mathbb{E}_{\sigma}(\phi)|^{1-\theta} \leqslant C \|\mathbb{E}'_{\sigma}(u)\|_{\mathcal{X}_{\sigma 0}'}.注意到\dfrac{1}{1-\theta} \leqslant 2,结合以上两式就得到\begin{aligned} \left|\mathbb{E}_{\sigma}(u)-\mathbb{E}_{\sigma}(\phi)\right| & \leqslant \left|\mathbb{E}_{\sigma}(u)-\mathbb{E}_{\sigma}(B \circ P u)\right|+\left|\mathbb{E}_{\sigma}(B \circ P u)-\mathbb{E}_{\sigma}(\phi)\right| \\ & \leqslant C\left\|\mathbb{E}_{\sigma}'(u)\right\|_{\mathcal{X}_{\sigma 0}'}^{2}+C\left\|\mathbb{E}_{\sigma}'(u)\right\|_{\mathcal{X}_{\sigma 0}'}^{\frac{1}{1-\theta}} \\ & \leqslant C\left\|\mathbb{E}_{\sigma}'(u)\right\|_{\mathcal{X}_{\sigma 0}'}^{\frac{1}{1-\theta}} = C \left\|\mathfrak{A}_{\sigma} u + g(u)\right\|_{\mathcal{X}_{\sigma 0}'}^{\frac{1}{1-\theta}}. \end{aligned}总结起来就是，存在\theta \in \left(0,\dfrac{1}{2}\right]和常数\omega,\delta>0使得对所有满足\|v-\phi\|_{\mathcal{X}_{\sigma 0}}<\delta的v \in \mathcal{X}_{\sigma 0}都有|\mathbb{E}_{\sigma}(v)-\mathbb{E}_{\sigma}(\phi)|^{1-\theta} \leqslant \omega \|\mathfrak{A}_{\sigma} v + g(v)\|_{\mathcal{X}_{\sigma 0}'}成立，定理 3 至此已证完.
\quad本文的主要结果将由定理 3 得到.\quad定理 4\ 设N > 2 \sigma,\ (u,w)是 (FCH) 在(0,+\infty)上的弱解. 设\phi \in \mathcal{X}_{\sigma 0} \cap L^{\infty}(\Omega)属于u的 𝜔-极限集. 若以下四者之一成立：\quad \ \ (i)a=b=+\infty;(H1) 和 (H3) 成立；\quad \ (ii)b=+\infty且在\Omega上几乎处处有\phi > 0;(H2) 和 (H3) 成立，\quad(iii)a,b \in (0,+\infty),且存在\tau>0使得\|\phi\|_{\infty}, \|u\|_{L^{\infty}(\Omega \times (\tau,+\infty))} <\min \{a,b\};(H1) 成立；\quad(iv)b \in (0,+\infty),在\Omega上几乎处处有0<\phi < b,且存在\tau>0使得\|u\|_{L^{\infty}(\Omega \times (\tau,+\infty))} < b;(H2) 成立，
则t \to +\infty时,u(t)在\mathcal{X}_{\sigma 0}中强收敛到\phi.\quad证明\ 根据假设, \phi是 (9) 的有界解，且存在序列(t_n)使得n \to \infty时,u(t_n)在\mathcal{X}_{\sigma 0}中强收敛到\phi,并且\mathbb{E}_{\sigma}(u(t_n))单调不增地收敛到\mathbb{E}_{\sigma}(\phi); \ \mathbb{E}'_{\sigma}(\phi) = 0.对于情况 (iii) 总可以取\gamma,\eta \in (0, \min \{a, b\})使得对某些\tau>0有\|\phi\|_{\infty}< \gamma, \ \|u\|_{L^{\infty}(\Omega \times (\tau,+\infty))} <\eta.情况 (iv) 也类似. 由定理 3 可知存在\theta \in \left(0,\dfrac{1}{2}\right]和常数\omega,\delta>0使得对所有满足\|v-\phi\|_{\mathcal{X}_{\sigma 0}}<\delta的v \in \mathcal{X}_{\sigma 0}都有|\mathbb{E}_{\sigma}(v)-\mathbb{E}_{\sigma}(\phi)|^{1-\theta} \leqslant \omega \|\mathfrak{A}_{\sigma} v + g(v)\|_{\mathcal{X}_{\sigma 0}'}成立 (在情况 (iii) 和 (iv) 下还需要\|v\|_{\infty}<\eta.) 记\mathbb{H}(t) \coloneqq (\mathbb{E}_{\sigma}(u(t))-\mathbb{E}_{\sigma}(\phi))^{\theta} \geqslant 0.由 (2), (4) 和 (13) 可知\|u(t)-\phi\|_{\mathcal{X}_{\sigma 0}}<\delta时，\begin{aligned} -\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \mathbb{H}(t) & =-\theta\left(\mathbb{E}_{\sigma}(u(t))-\mathbb{E}_{\sigma}(\phi)\right)^{\theta-1} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \mathbb{E}_{\sigma}(u(t)) \\ & \geqslant \theta\left(\mathbb{E}_{\sigma}(u(t))-\mathbb{E}_{\sigma}(\phi)\right)^{\theta-1}\|w(t)\|_{\mathcal{X}_{s 0}}^{2} \\ & \geqslant \omega^{-1} \theta\left\|\mathfrak{A}_{\sigma} u(t)+g(u(t))\right\|_{\mathcal{X}_{\sigma 0}'}^{-1}\|w(t)\|_{\mathcal{X}_{s 0}}^{2} \\ & = \omega^{-1} \theta\|w(t)\|_{\mathcal{X}_{\sigma 0}'}^{-1}\|w(t)\|_{\mathcal{X}_{s 0}}^{2}. \end{aligned}进一步地，由 (1) 和\mathcal{X}_{s0} \xhookrightarrow[]{} \mathcal{X}_{\sigma 0}'就有 -\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \mathbb{H}(t) \geqslant \omega^{-1} \theta C^{-1} \|w(t)\|_{\mathcal{X}_{s 0}} = \omega^{-1} \theta C^{-1} \|\mathfrak{A}_s w(t)\|_{\mathcal{X}_{s 0}'} = \omega^{-1} \theta C^{-1} \|\partial_{t} u(\tau)\|_{\mathcal{X}_{s 0}'}. \tag{21}固定\nu \in (0,\delta),记s_n \coloneqq \inf \{s \geqslant t_n : \|u(s)-\phi\|_{\mathcal{X}_{\sigma 0}} \geqslant \nu\}.我们知道，当n充分大时有\|u(s)-\phi\|_{\mathcal{X}_{\sigma 0}} < \nu.由定理 1,t \mapsto u(t)在[0,+\infty)上在\mathcal{X}_{\sigma 0}的强拓扑下右连续，因此n充分大时,s_n \in (t_n,+\infty].只要能证明对某个n_{\nu} \in \mathbb{N}有s_{n_{\nu}} = +\infty就完成了本定理的证明. 下面用反证法. 假设对所有n \in \mathbb{N}都有s_n < +\infty,那么对所有t \in [t_n,s_n)都有\|u(t)-\phi\|_{\mathcal{X}_{\sigma 0}} < \nu < \delta,且\|u(s_n)-\phi\|_{\mathcal{X}_{\sigma 0}} \geqslant \nu > 0.注意t \to \mathbb{H}_{\sigma}(t)单调不增，有\int_{t_n}^{s_n} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \mathbb{H}(t) \geqslant \mathbb{H}(s_n) - \mathbb{H}(t_n).从而n \to \infty时，\begin{aligned} \left\|u\left(s_{n}\right)-\phi\right\|_{\mathcal{X}_{s 0}'} & \leqslant \int_{t_{n}}^{s_{n}}\left\|\partial_{t} u(\tau)\right\|_{\mathcal{X}_{s 0}'} \mathrm{d} \tau+\left\|u\left(t_{n}\right)-\phi\right\|_{\mathcal{X}_{s 0}'} \\ & \leqslant \omega \theta^{-1} C \int_{t_{n}}^{s_{n}}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \tau} \mathbb{H}(\tau) \mathrm{d} \tau+\left\|u\left(t_{n}\right)-\phi\right\|_{\mathcal{X}_{s 0}'} \\ & \leqslant -\omega \theta^{-1} C\left(\mathbb{H}\left(s_{n}\right)-\mathbb{H}\left(t_{n}\right)\right)+\left\|u\left(t_{n}\right)-\phi\right\|_{\mathcal{X}_{s 0}'} \\& \leqslant \omega \theta^{-1} C \mathbb{H}\left(t_{n}\right)+\left\|u\left(t_{n}\right)-\phi\right\|_{\mathcal{X}_{s 0}'} \to 0, \end{aligned}即u(s_n)在\mathcal{X}_{s 0}'中强收敛到\phi.另一方面, 由引理 2 可知u(s)总在\mathcal{X}_{\sigma 0}中有界，因此可以取(s_n)的子列（仍用(s_n)表示）使得u(s_n)在\mathcal{X}_{\sigma 0}中弱收敛到\phi且u(s_n)在L^2(\mathbb{R}^N)中强收敛到\phi.与定理 2 的证明类似地，注意n \to \infty时\mathbb{E}_{\sigma}(u(s_n)) \to \mathbb{E}_{\sigma}(\phi),再由\begin{aligned}\frac{1}{2} \underset{n \to \infty}{\overline{\text{lim}}} \|u(s_n)\|_{\mathcal{X}_{\sigma 0}}^2 & \leqslant \lim_{n \to \infty} \mathbb{E}_{\sigma}(u(t_n)) - \underset{n \to \infty}{\underline{\text{lim}}} \int_{\Omega} \widehat{\beta}(u(s_n)) \mathrm{d} x + \frac{\lambda}{2} \lim_{n \to \infty} \|u(t_n)\|_2^2 \\ & \leqslant \mathbb{E}_{\sigma}(\phi) - \int_{\Omega} \widehat{\beta}(\phi) \mathrm{d} x + \frac{\lambda}{2} \|\phi\|_2^2 = \frac{1}{2} \|\phi\|_{\mathcal{X}_{\sigma 0}}^2,\end{aligned}结合\mathcal{X}_{\sigma 0}的一致凸性就得到了u(s_n)在\mathcal{X}_{\sigma 0}中强收敛到\phi.而这与对所有n \in \mathbb{N}都有\|u(s_n)-\phi\|_{\mathcal{X}_{\sigma 0}} \geqslant \nu > 0矛盾. 至此本定理的证明已完成.\quad由定理 3 也容易得到如下的收敛速率结果. \quad推论 4\ 在定理 4 的条件下，存在t_0 > 0使得对所有t \geqslant t_0都有\mathbb{H}(t) \leqslant \left\{\begin{array}{l} \left[\mathbb{H}(t_0)^{-\frac{1-2\theta}{\theta}} + C(1-2\theta)\theta^{-1}(t-t_0)\right], & \quad \ \ \; 0<\theta<\dfrac{1}{2}, \\ \mathbb{H}(t_0) \mathrm{e}^{-C(t-t_0)}, & \theta = \dfrac{1}{2}, \end{array}\right. \tag{22}这里\mathbb{H}(t) \coloneqq (\mathbb{E}_{\sigma}(u(t))-\mathbb{E}_{\sigma}(\phi))^{\theta}.进一步地，对充分大的t > 0还有\|u(t)-\phi\|_{\mathcal{X}_{\sigma 0}} \lesssim \mathbb{H}(t).\quad证明\ 由定理 4, 存在t_0 > 0使得对所有t \geqslant t_0都有\|u(t)-\phi\|_{\mathcal{X}_{\sigma 0}} < \delta,这里的\delta的选取要使得u(t)满足 Łojasiewicz-Simon 不等式 (13). 在定理 4 的证明中，已经得到了-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \mathbb{H}(t) \geqslant \theta\left(\mathbb{E}_{\sigma}(u(t))-\mathbb{E}_{\sigma}(\phi)\right)^{\theta-1}\|w(t)\|_{\mathcal{X}_{s 0}}^{2} \geqslant \theta \mathbb{H}(t)^{-\frac{1-\theta}{\theta}} \|w(t)\|_{\mathcal{X}_{s 0}}^{2}.由 (2), (13) 和\mathcal{X}_{s0} \xhookrightarrow[]{} \mathcal{X}_{\sigma 0}'还有\|w(t)\|_{\mathcal{X}_{s 0}}^2 \geqslant C \|w(t)\|_{\mathcal{X}_{\sigma 0}'}^2 = C \|\mathfrak{A}_{\sigma} u(t) + g(u(t))\|_{\mathcal{X}_{\sigma 0}'}^2 \geqslant C \mathbb{H}(t)^{\frac{2(1-\theta)}{\theta}}.由以上两式有\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \mathbb{H}(t) \leqslant - C \mathbb{H}(t)^{\frac{1-\theta}{\theta}}对所有t \geqslant t_0成立，两边积分便得到 (22). 接下来，与定理 4 证明类似地，对 (21) 两边在[t,t']上积分得到\begin{aligned} \left\|u\left(t\right)-\phi\right\|_{\mathcal{X}_{s 0}'} & \leqslant \int_{t}^{t'}\left\|\partial_{t} u(\tau)\right\|_{\mathcal{X}_{s 0}'} \mathrm{d} \tau+\left\|u\left(t'\right)-\phi\right\|_{\mathcal{X}_{s 0}'} \\ & \leqslant \omega \theta^{-1} C \int_{t}^{t'}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \tau} \mathbb{H}(\tau) \mathrm{d} \tau+\left\|u\left(t'\right)-\phi\right\|_{\mathcal{X}_{s 0}'} \\ & \leqslant -\omega \theta^{-1} C\left(\mathbb{H}\left(t'\right)-\mathbb{H}\left(t\right)\right)+\left\|u\left(t'\right)-\phi\right\|_{\mathcal{X}_{s 0}'} \\& \leqslant \omega \theta^{-1} C \mathbb{H}\left(t\right)+\left\|u\left(t'\right)-\phi\right\|_{\mathcal{X}_{s 0}'}, \end{aligned}取t' \to +\infty便有\left\|u\left(t\right)-\phi\right\|_{\mathcal{X}_{s 0}'} \leqslant \omega \theta^{-1} C \mathbb{H}\left(t\right).注意到\begin{gathered} \|u\|_2^2 - \|\phi\|_2^2 = \|u - \phi\|_2^2 + 2\langle \phi, u - \phi \rangle_{\mathcal{X}_{\sigma 0}}, \\ \|u\|_{\mathcal{X}_{\sigma 0}}^2 - \|\phi\|_{\mathcal{X}_{\sigma 0}}^2 = \|u - \phi\|_{\mathcal{X}_{\sigma 0}}^2 + 2 \langle \mathfrak{A}_{\sigma}\phi, u - \phi \rangle_{\mathcal{X}_{\sigma 0}}, \\ \int_{\Omega} \left(\widehat{\beta}(u)-\widehat{\beta}(\phi)\right) \mathrm{d}x \geqslant \langle \beta(\phi), u-\phi \rangle_{\mathcal{X}_{\sigma 0}},\end{gathered}结合 (9) 就有\begin{aligned} & \mathbb{E}_{\sigma}(u(t))-\mathbb{E}_{\sigma}(\phi) \\ = & \frac{1}{2}\left(\|u(t)\|_{\mathcal{X}_{\sigma0}}^2-\|\phi\|_{\mathcal{X}_{\sigma0}}^2\right)+\int_{\Omega}\left(\widehat{\beta}(u(t))-\widehat{\beta}(\phi)\right)\mathrm{d}x -\frac{\lambda}{2}\left(\|u(t)\|_2^2-\|\phi\|_2^2\right) \\ \geqslant & \frac{1}{2}\|u(t)-\phi\|_{\mathcal{X}_{\sigma0}}^2+\langle\mathfrak{A}_\sigma\phi+\beta(\phi)-\lambda\phi,u(t)-\phi\rangle_{\mathcal{X}_{\sigma0}} -\frac{\lambda}{2}\|u(t)-\phi\|_2^2 \\ =& \frac{1}{2}\|u(t)-\phi\|_{\mathcal{X}_{\sigma0}}^{2}-\frac{\lambda}{2}\|u(t)-\phi\|_2^{2}.\end{aligned}由 Aubin–Lions 不等式，对任意\varepsilon>0,存在常数C_{\varepsilon}>0使得\|u(t)-\phi\|_2^2 \leqslant \varepsilon \|u(t)-\phi\|_{\mathcal{X}_{\sigma0}}^2+C_\varepsilon\|u(t)-\phi\|_{\mathcal{X}_{s0}'}^2.取\varepsilon=\dfrac{1}{2\lambda},综合以上便有\begin{aligned} \|u(t)-\phi\|_{\mathcal{X}_{\sigma0}}^2 & \leqslant \lambda \|u(t)-\phi\|_2^2+2\mathbb{H}(t)^{\frac{1}{\theta}} \\ & \leqslant \frac{1}{2} \|u(t)-\phi\|_{\mathcal{X}_{\sigma0}}^2 + C \|u(t)-\phi\|_{\mathcal{X}_{s0}'}^2 + 2\mathbb{H}(t)^{\frac{1}{\theta}}, \end{aligned}从而\|u(t)-\phi\|_{\mathcal{X}_{\sigma0}}^2 \lesssim \mathbb{H}(t)^2 + \mathbb{H}(t)^{\frac{1}{\theta}} \lesssim \mathbb{H}(t)^2,由此便完成了证明.