\quad本文考虑带有 You-Keveh 型和 Tumblin-Turk 型粘性项的一维 Burgers 方程u_{t} + \left(\frac{1}{2}u^2\right)_x = -\left(g(u_{xx})u_{xx}\right)_{xx}\tag{YK}和u_{t} + \left(\frac{1}{2}u^2\right)_x = -\left(g(u_{xx})u_{xxx}\right)_x\tag{TT}的行波解, 其中g(s)=\dfrac{1}{1+s^2}.行波解指的是形如u(x,t)=\varphi(x-ct)=\varphi(\xi)的解，其中c \in \mathbb{R}为波速. 本文关注连接两个不同的稳态\varphi(-\infty) = u_L和\varphi(+\infty) = u_R的行波解，即假设\varphi的各阶导数均消失于无穷且\lim_{\xi \to -\infty}\varphi(\xi)=u_L, \quad \lim_{\xi \to +\infty}\varphi(\xi)=u_R.\quad记\varphi'=\dfrac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}\xi}, 可将 (YK) 和 (TT) 转化为常微分方程\varphi'(\varphi-c) = -\left(g(\varphi'')\varphi''\right)''和\varphi'(\varphi-c) = -\left(g(\varphi'')\varphi'''\right)'.将这两个方程两边积分，利用\varphi的各阶导数均消失于无穷的条件，就可以将 (YK) 和 (TT) 转化为r(\varphi)=-\left(g(\varphi'')\varphi''\right)'\tag{YKODE}和r(\varphi)=-(\arctan \varphi''(\xi))'\tag{TTODE},其中r(\varphi)\coloneqq \dfrac{1}{2}\varphi^2-c\varphi+\dfrac{1}{2}u_Lu_R,c = \dfrac{u_L+u_R}{2}.通过变量替换\varPhi=\varphi-c可将 (YKODE) 改写成\frac{1}{2} \left(\varPhi^2-\frac{1}{4}(u_R-u_L)^2\right)=-\left(g(\varPhi'')\varPhi''\right)',可以看出这个方程的行为取决于两个稳态值u_L和u_R的差. 粘性 Burgers 方程的熵条件要求u_L>u_R.因此，我们可以只考虑波速为零且\gamma \coloneqq u_L>0的情形使得 (YKODE) 中只有一个可变参数而不丢失一般性. 此时r(\varphi)=\dfrac{1}{2}(\varphi^2-\gamma^2),u_R=-\gamma.(TTODE) 与之完全类似. 记\mathcal{R}(\varphi)=\dfrac{1}{6}\varphi^3-\dfrac{1}{2}\gamma^2\varphi，则有如下引理：\quad引理 1\ 设\varphi(\xi)是满足前述条件的 (YKODE) 的光滑解，则\mathcal{L}_1(\xi) \coloneqq \mathcal{R}(\varphi(\xi))+g(\varphi''(\xi))\varphi''(\xi)\varphi'(\xi)单调上升. \quad证明 \ 在 (YKODE) 两侧乘以\varphi'并在(-\infty,\xi)上积分, 就得到\begin{aligned} \mathcal{L}_1(\xi) &= \mathcal{R}(\gamma) + \int_{\gamma}^{\varphi(\xi)} r(s) \mathrm{d} s+g(\varphi''(\xi))\varphi''(\xi)\varphi'(\xi) \\ &= \mathcal{R}(\gamma) + \int_{-\infty}^{\xi} r(\varphi(y))\varphi'(y) \mathrm{d} y + g(\varphi''(\xi))\varphi''(\xi)\varphi'(\xi) \\ &= \mathcal{R}(\gamma) + \int_{-\infty}^{\xi} g(\varphi''(y))(\varphi''(y))^2 \mathrm{d} y, \end{aligned}从而\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\xi}\mathcal{L}_1(\xi) = g(\varphi''(\xi))(\varphi''(\xi))^2 \geqslant 0,即\mathcal{L}_1(\xi)是单调上升的. \quad注 \ 从上述引理可以看出-\mathcal{L}_1(\xi)是 (YKODE) 的一个 Lyapunov 函数. 在无穷远处和\varphi的极值点处均有\mathcal{L}_1(\xi)=\mathcal{R}(\varphi(\xi))，这便于之后对光滑行波解的存在性展开研究.\quad引理 2\ 给定\xi_* \in \mathbb{R}，若\varphi(\xi)是满足前述条件的 (YKODE) 的光滑解，则存在\xi_+ > \xi_*和\xi_- < \xi_*使得\varphi(\xi_+), \varphi(\xi_-) \in (-2 \gamma, 2 \gamma).\quad证明 \ 先证存在\xi_+ > \xi_*使得|\varphi(\xi_+)|<2 \gamma.若不然，则对任意\xi > \xi_*都有|\varphi(\xi)| \geqslant 2 \gamma, 此时对任意\xi > \xi_*就有\left|(g(\varphi''(\xi))\varphi''(\xi))'\right|=|r(\varphi(\xi))|\geqslant |r(2\gamma)|=\frac{3}{2}\gamma^2,这将导致当\xi \to +\infty时|\varphi'''|无法衰减至0.对引理中\xi_- 存在性的证明是类似的.\quad引理 3\ 若\varphi(\xi)是满足前述条件的 (YKODE) 的光滑解，则总有|\varphi(\xi)| \leqslant 2 \gamma.\quad证明 \ 先证对\xi \in \mathbb{R}总有\varphi(\xi) \leqslant 2 \gamma.假设存在 \xi_1使得\varphi(\xi_1)>2 \gamma.由引理 2 可知存在\xi_0 > \xi_1和\xi_2 < \xi_1使得\varphi(\xi_0), \varphi(\xi_1) \in (-2 \gamma, 2 \gamma)，因此\varphi在(\xi_0,\xi_2)内存在极大值点\xi_M.\varphi的连续性意味着存在\bar{\xi} \in (\xi_M,\xi_2)使得\varphi(\bar{\xi})=2 \gamma且对任意\xi \in (\bar{\xi},\xi_2]都有\varphi(\xi)<2\gamma.\varphi在\xi >\bar{\xi}时可能存在两种行为：要么存在极值点\xi_*使得\varphi(\xi_*)<2\gamma, 要么单调下降趋于-\gamma.对于第一种情况，既然\xi_*是极值点，就有\mathcal{L}_1(\xi_*)=\mathcal{R}(\varphi(\xi_*))<\mathcal{R}(\varphi(\xi_M))=\mathcal{L}_1(\xi_M),这与\mathcal{L}_1(\xi)的单调性不符. 对于第二种情况，则有\mathcal{L}_1(+\infty)=\mathcal{R}(-\gamma)<\mathcal{R}(\varphi(\xi_M))=\mathcal{L}_1(\xi_M),同样与\mathcal{L}_1(\xi)的单调性不符. 对\varphi(\xi) \geqslant -2 \gamma的证明是类似的.\quad引理 4\ 若\varphi(\xi)是满足前述条件的 (YKODE) 的光滑解，则总有|\varphi''(\xi)| \leqslant 1.\quad证明 \ 先证明\varphi''(\xi) \leqslant 1.假设存在\xi_*使得\varphi''(\xi) > 1，由于\varphi''(-\infty) =0，故存在\xi_c<\xi_* 使得\varphi''(\xi_c)=1且对任意\xi \in (\xi_c,\xi_*]都有\varphi''(\xi)>1，此时r(\varphi(\xi_c))=0,\varphi(\xi_c)=\pm \gamma.\quad先考察\varphi(\xi_c)=\gamma的情况. 由\mathcal{R}(\gamma)=\mathcal{L}_1(-\infty)<\mathcal{L}_1(\xi_c)=\mathcal{R}(\gamma)+\frac{1}{2}\varphi'(\xi_c)可知\varphi'(\xi_c)>0，因此存在\varepsilon>0使得\varphi(\xi)>\gamma对所有\xi \in (\xi_c,\xi_c+\varepsilon)都成立，在这个区间上就还有\varphi'''(\xi)>0,\varphi''(\xi)>1,\varphi'(\xi)>0.事实上\varphi'''(\xi) \geqslant 0会在整个(\xi_c,+\infty)上成立，若不然，则存在\xi_3 \geqslant \xi_c + \varepsilon使得\varphi'''(\xi_3)<0，从而就存在\xi' \in (\xi_c, \xi_3)使得\varphi'''(\xi')=0且对任意\xi \in (\xi_c, \xi')都有\varphi'''(\xi)>0.\varphi'''(\xi')=0说明\varphi(\xi')=\pm \gamma，而\varphi'''在(\xi_c, \xi')上恒为正却说明\varphi将在(\xi_c, \xi')上一直增长. 因此\varphi''' \geqslant 0确实会在整个(\xi_c,+\infty)上成立，这说明了\varphi将在(\xi_c, +\infty)上一直增长而不会回到- \gamma.\quad对于\varphi(\xi_c)=-\gamma的情况，同理由\mathcal{R}(-\gamma)+\frac{1}{2}\varphi'(\xi_c)=\mathcal{L}_1(\xi_c)<\mathcal{L}_1(+\infty)=\mathcal{R}(-\gamma)可知\varphi'(\xi_c)<0，因此存在另一个\varepsilon>0使得\varphi(\xi)<-\gamma对所有\xi \in (\xi_c,\xi_c+\varepsilon)都成立，在这个区间上就还有\varphi'''(\xi)>0,\varphi''(\xi)>1.我们断言\varphi'''(\xi) \geqslant 0绝不会在整个(\xi_c,+\infty)上成立，否则在(\xi_c,+\infty)上将总有\varphi''(\xi)>1，这将导致在(\xi_c, +\infty)上总有|\varphi(\xi)|>\gamma，即\varphi不会回到- \gamma.故存在\xi_4 \geqslant \xi_c + \varepsilon使得\varphi'''(\xi_4)<0，从而就存在\xi'' \in (\xi_c, \xi_4)使得\varphi'''(\xi'')=0, \varphi(\xi'')=-\gamma且对任意\xi \in (\xi_c, \xi'')都有\varphi'''(\xi)>0.于是便有\varphi'(\xi)>0，此时\mathcal{L}_1(\xi'') =\mathcal{R}(-\gamma)+\frac{1}{2}\varphi'(\xi'')>\mathcal{R}(-\gamma)=\mathcal{L}_1(+\infty),这与\mathcal{L}_1(\xi)的单调性不符. 对\varphi''(\xi) \geqslant -1的证明是类似的. \quad利用引理 3 和引理 4 可以证明\gamma较大时 (YKODE) 将不存在满足前述条件的光滑解.\quad定理 1\ 当\gamma>\sqrt[5]{72}时, (YKODE) 不存在满足前述条件的光滑解.\quad证明 \ 设\varphi(\xi)是满足条件的光滑解，则其一定存在最小零点\xi_0.\varphi在\xi <\xi_0时可能存在两种行为：要么存在使\varphi(\xi)=\gamma的\xi，要么总有\varphi(\xi)<\gamma.先考虑第一种情况. 记\xi_-是满足\xi_-<\xi_0与\varphi(\xi_-)=\gamma的最大数. 那么在(\xi_-,\xi_0)上必有\varphi(\xi) \in (0,\gamma), 由引理 4 可知\varphi'''(\xi) >0对所有\xi \in (\xi_-,\xi_0)都成立. 我们断言在[\xi_-,\xi_0]上总有\varphi'(\xi) \leqslant 0.如果存在\xi_1 \in (\xi_-,\xi_0)使得\varphi'(\xi_1)>0，为了符合对\xi_-和\xi_0的定义，一定存在\xi' \in (\xi_-,\xi_1)和 \xi'' \in (\xi_1,\xi_0)使得\varphi'(\xi')<0,\varphi'(\xi'')<0.从而就存在\xi_2 \in (\xi',\xi_1)和\xi_3 \in (\xi_1,\xi'')使得\varphi'(\xi_2)=\varphi'(\xi_3)=0.这说明存在\xi_* \in (\xi_2,\xi_3)使得\varphi''(\xi_*)=0.由于\varphi'在(\xi_-,\xi_0)上严格凸，这说明\xi_*是\varphi'在[\xi_-,\xi_0]上的最小值点,\varphi'在(\xi_-,\xi_*)上单调减少，在(\xi_*,\xi_0)上单调增加，从而只能有 \varphi(\xi_1)<0，矛盾.\quad将 (YKODE) 在[\xi_-,\xi_0]上两边积分得到g(\varphi''(\xi_0))\varphi''(\xi_0) - g(\varphi''(\xi_-))\varphi''(\xi_-) =\int_{\xi_-}^{\xi_0} r(\varphi(y)) \mathrm{d} y,记\mu<0为\varphi'(\xi) 在[\xi_-,\xi_0]上的最小值，则1 \geqslant \int_{\xi_-}^{\xi_0} -r(\varphi(y)) \mathrm{d} y \geqslant \frac{1}{\mu} \int_{\xi_-}^{\xi_0} -r(\varphi(y)) \varphi'(y) \mathrm{d} y =\frac{1}{\mu}\left(\mathcal{R}(\gamma)-\mathcal{R}(0)\right) ,结合引理 3 和引理 4 给出的限制，就得到\frac{\gamma^3}{3}=\mathcal{R}(0)-\mathcal{R}(\gamma) \leqslant |\mu| \leqslant 2\sqrt{2\gamma}.第二种情况的证明与此完全类似.
\quad接下来研究 (TTODE)，我们对其解\varphi作出相同的假设. 与引理 1 类似地有如下引理：\quad引理 5\ 设\varphi(\xi)是满足前述条件的 (TTODE) 的光滑解，则\mathcal{L}_2(\xi) \coloneqq \mathcal{R}(\varphi(\xi))+\mathrm{arctan}(\varphi''(\xi))\varphi'(\xi)单调上升. \quad证明 \ 在 (TTODE) 两侧乘以\varphi'并在(-\infty,\xi)上积分, 就得到\begin{aligned} \mathcal{L}_2(\xi) &= \mathcal{R}(\gamma) + \int_{\gamma}^{\varphi(\xi)} r(s) \mathrm{d} s+\mathrm{arctan}(\varphi''(\xi))\varphi'(\xi) \\ &= \mathcal{R}(\gamma) + \int_{-\infty}^{\xi} r(\varphi(y))\varphi'(y) \mathrm{d} y + \mathrm{arctan}(\varphi''(\xi))\varphi'(\xi) \\ &= \mathcal{R}(\gamma) + \int_{-\infty}^{\xi} \mathrm{arctan}(\varphi''(y))\varphi''(y) \mathrm{d} y, \end{aligned}从而\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\xi}\mathcal{L}_2(\xi) = \mathrm{arctan}(\varphi''(\xi))\varphi''(\xi) \geqslant 0,即\mathcal{L}_2(\xi)是单调上升的. \quad注 \ 与引理 3 类似地，可以证明若\varphi(\xi)是满足前述条件的 (TTODE) 的光滑解，则总有|\varphi(\xi)| \leqslant 2 \gamma.\quad引理 6\ 若\varphi(\xi)是满足前述条件的 (TTODE) 的光滑解，则对任意\varepsilon>0都有\int_{\{s:|\varphi''(s)|>\varepsilon\}} |\varphi''(s)| \mathrm{d} s \leqslant \frac{2}{3\arctan \varepsilon} \gamma^3.\quad证明 \ 设\varphi(\xi)是满足条件的光滑解，则\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{arctan}(\varphi''(s))\varphi''(s) \mathrm{d} s = \mathcal{R}(-\gamma)-\mathcal{R}(\gamma)=\frac{2}{3} \gamma^3.从而\begin{aligned}\int_{\{s:|\varphi''(s)|>\varepsilon\}} |\varphi''(s)| \mathrm{d} s &\leqslant \frac{1}{\arctan \varepsilon} \int_{\{s:|\varphi''(s)|>\varepsilon\}} \arctan(\varphi''(s)) \varphi''(s) \mathrm{d} s \\ &\leqslant \frac{1}{\arctan \varepsilon} \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{arctan}(\varphi''(s))\varphi''(s) \mathrm{d} s \\ &= \frac{2}{3\arctan \varepsilon} \gamma^3.\end{aligned}\quad(TTODE) 可以改写为如下系统\varphi'=v, \quad v'=\tan w,\quad w'=-r(\varphi),\tag{*}当|w| < \dfrac{\pi}{2}时, (TTODE) 和 (*) 是等价的. 现在的重点是找到 (*) 的解(\varphi,v,w)的一致界. 下面的引理说明了满足前述条件的 (*) 的光滑解(\varphi,v,w)中,w是远离\pm \dfrac{\pi}{2}的.\quad引理 7\ 若(\varphi,v,w)是满足前述条件及|w| < \dfrac{\pi}{2}的 (*) 的光滑解, 则存在0<C_1<\dfrac{\pi}{2}使得对所有\xi都有|w(\xi)| \leqslant C_1.\quad证明 \ 若对所有\xi总有w \leqslant \dfrac{\pi}{4}, 则已经找到了w的小于\dfrac{\pi}{2}的一致上界. 若不然，则总有\xi_0使得 \dfrac{\pi}{4} <w(\xi_0)< \dfrac{\pi}{2}.选取\delta>0使得 \dfrac{\pi}{6} \leqslant w(\xi_0)-\dfrac{3\gamma^2}{2} \delta< \dfrac{\pi}{4}, 由于对所有\xi总有|w'(\xi)|=\left|-r(\varphi(\xi))\right| \leqslant \dfrac{3}{2}\gamma^2，因此在[\xi_0-\delta,\xi_0]上就有w(\xi) \geqslant w(\xi_0) -\dfrac{3\gamma^2}{2} (\xi_0-\xi) \geqslant w(\xi_0) -\dfrac{3\gamma^2}{2} \delta \geqslant \dfrac{\pi}{6},从而有\begin{aligned} \int_{\left\{s:|\varphi''(s)|>\frac{1}{\sqrt{3}}\right\}} |v'(s)| \mathrm{d} s & \geqslant \int_{\xi_0-\delta}^{\xi_0} |v'(s)| \mathrm{d} s = \int_{\xi_0-\delta}^{\xi_0} |\tan (w(s))| \mathrm{d} s \\ & \geqslant \int_{\xi_0-\delta}^{\xi_0} \left|\tan \left(w(\xi)-\frac{3\gamma^2}{2}(\xi_0-s)\right)\right| \mathrm{d} s \\ &= \frac{2}{3\gamma^2} \log \left| \frac{\cos\left(w(\xi_0)-\frac{3\gamma^2}{2}\right)}{\cos(w(\xi_0))}\right| \\ & \geqslant \frac{2}{3\gamma^2} \log \left| \frac{\cos \frac{\pi}{4}}{\cos(w(\xi_0))}\right|. \end{aligned}另一方面，由引理 6 可以得到\int_{\left\{s:|\varphi''(s)|>\frac{1}{\sqrt{3}}\right\}} |v'(s)| \mathrm{d} s=\int_{\left\{s:|\varphi''(s)|>\frac{1}{\sqrt{3}}\right\}} |\varphi''(s)| \mathrm{d} s \leqslant \frac{4}{\pi} \gamma^3.结合以上两式便有\frac{2}{3\gamma^2} \log \left| \frac{1}{\sqrt{2}\cos(w(\xi_0))}\right| \leqslant \frac{4}{\pi} \gamma^3,从而 w(\xi_0) \leqslant C_1 \coloneqq \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{2}} \mathrm{e}^{-\frac{6}{\pi}\gamma^5}\right)<\frac{\pi}{2}.类似地可以证明 w(\xi_0) \geqslant -C_1.\quad注 \ 由此引理可知 |\varphi''|=|\tan w| \leqslant \tan C_1 < + \infty.结合 |\varphi| < 2 \gamma 可知存在 C_2 = 2\sqrt{2 \gamma \tan C_1}>0使得|v|=|\varphi'| \leqslant C_2.\quad下面用 Conley 指标理论来证明 (TTODE) 存在满足前述条件的光滑解.\quad定理 2\ 对所有\gamma>0时, (TTODE) 都存在满足前述条件的光滑解.\quad证明 \ 首先，系统 (*) 是梯度型的，因为存在函数F(\varphi,v,w)=\frac{1}{6} \varphi^3 - \frac{1}{2} \gamma^2 \varphi + vw使得(\varphi',v',w')=\nabla F且\nabla F \ne 0时有\nabla F \begin{pmatrix}\varphi' \\ v' \\ w' \end{pmatrix} = w \tan w > 0.在平衡点(\pm \gamma,0,0)处, (*) 的线性化矩阵\begin{pmatrix}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \pm \gamma & 0 & 0 \end{pmatrix}的特征值显然都非零，这说明这两个平衡点都是非退化的. \quad定义集合N=\left\{ (\varphi,v,w) : |\varphi| \leqslant 2\gamma, \ |v| \leqslant C_2, |w| \leqslant C_1\right\},(*) 生成的流中的不变集只可能包含(\pm \gamma,0,0).由于所有可能的有界轨线都包含在N的内部,N一定是这流中的孤立邻域，而包含在N中的最大不变集S(N)=\{(\pm \gamma,0,0)\}则是一个孤立不变集. 在孤立邻域N中一定存在孤立块B, 即\partial B上的点都会在有限时间 (正或负) 内离开B.记b^+为B的外出点集，则S(N)的 Conley 指标为h(S(N)) = [B/b^+].Conley 指标在保持孤立邻域的连续形变下是不变的. 考虑 (*) 的连续形变\varphi'=v, \quad v'=\tan w,\quad w'=-r(\varphi)+\beta,\tag{**}当\beta=0时系统 (**) 和 (*) 相同. 当0<\beta<\dfrac{\gamma^2}{2}时, (**) 拥有两个平衡点(\pm \sqrt{\gamma^2-2 \beta},0,0).可以证明其解\left(\varphi_{\beta},v_{\beta},w_{\beta}\right)中,\varphi_{\beta}的界不会超过 (*) 的界, 即|\varphi_{\beta}| \leqslant 2 \sqrt{\gamma^2-2 \beta} < 2 \gamma.这样，我们总可以在时0 \leqslant \beta<\dfrac{\gamma^2}{2}时找到一致的不包含任何不变集 (除了空集) 的孤立块B.\quad当\beta=\dfrac{\gamma^2}{2}时, (**) 唯一的有界轨线为常函数\varphi = 0, 这时B仍是孤立块. 注意, 当\beta>\dfrac{\gamma^2}{2}时, 系统 (**) 生成的流中的不变集只能为空集，而此时B仍然是不包含任何不变集 (除了空集) 的孤立块. 这说明[B/b^+]的同伦等价类与空集的相同，即h(S(N)) = \bar{0}.以上分析说明 (*) 存在连接平衡态(\gamma,0,0)和(-\gamma,0,0)的轨线. 轨线的流向由 Lyapunov 函数保证.