\quad\quad
首先来回顾 Hilbert 空间中的 Riesz 表示定理. 设 F(u)
为 Hilbert 空间设 H
上的有界线性泛函,则存在唯一的 u \in H
,\|u\| = \|H\|
,使得对任意 v \in H
,都有F(v)=(u,v).
\quad\quad
Lax-Milgram 定理的表述为,设 H
为 Hilbert 空间,a(u,v)
为 H
上的双线性型,且满足:\quad\quad
(i) 存在常数 M \geqslant 0
,使得对任意 u \in H
,v \in V
,\mathcal{} |a(u, v)| \leqslant M\|u\| \cdot\| v \|
;\quad\quad
(ii) 存在常数 \delta > 0
,使得对任意 u \in H
,a(u, u) \geqslant \delta\|u\|
,
则对 H
上任一有界线性泛函 F(v)
都存在唯一的 u \in H
,使得对任意的 v \in H
,F(v)=(u,v)
,且 \|u\| \leqslant \dfrac{1}{\delta}\|F\|
. 条件 (i)(ii) 分别说明 了 a(u,v)
为有界的和强制的. 我们利用 Riesz 表示定理来证明这个定理. \quad\quad
证明\quad
a(u,v)
为 H
上的双线性型,那么对任意固定的 u \in H
,由条件 (i) 可知 a(u,\cdot)
为 H
上的有界线性泛函,由 Riesz 表示定理可知对任意 v \in H
,存在唯一的 Au \in H
,使得 a(u,v)=(Au,v)
. A
是H
上的有界线性算子,这是因为\|A\|=\sup _{\|u\|=1}\|Au\| = \sup _{\begin{array}{c}\|u\|=1\\\|v\|=1\end{array}}(Au,v) =\sup _{\begin{array}{c}\|u\|=1\\\|v\|=1\end{array}}a(u,v)\leqslant M,
且对任意 u_1,u_2,v \in H
,\begin{aligned}\left(A\left(\alpha u_{1}+\beta u_{2}\right),v\right) &=\alpha\left(\alpha u_{1}+\beta u_{2},v\right)=\alpha a\left(u_{1},v\right)+\beta a\left(u_{2},v\right) \\&=\alpha\left(A u_{1},v\right)+\beta\left(A u_{2},v\right)=\left(\alpha A u_{1}+\beta A u_{2}, v\right),\end{aligned}
A
是单射,这是因为对任意 u \in H
,由条件 (ii) 和 Cauchy-Schwarz 不等式, \delta\|u\|_{H}^{2} \leqslant a(u,u) = \left|(Au,u)\right| \leqslant \|Au\| \|u\|,
即 \|Au\| \geqslant \delta\|u\|
. 我们只需取 u_1,u_2 \in V
,由 Au_1=Au_2
显然有0 = \|A(u_1-u_2)\| \geqslant \delta\|u_1-u_2\|,
\quad\quad
下证 R(A)=H.
取 \{Au_k\}
为 R(A)
中的 Cauchy 列,\lim\limits_{k\to \infty} Au_k = v
,那么由 \delta\left\|u_{j}-u_{k}\right\| \leqslant\left\|A u_{j}-A u_{k}\right\|,
\{u_k\}
为 H
中的收敛序列,设 \lim\limits_{k\to \infty} u_k = u
,由 A
的连续性就有 \lim\limits_{k\to \infty} A u_{k}=A u=v,
因此 v \in R(A)
,因此 R(A)
是闭集. 假设 R(A) \ne H
,则存在非零元素 w \in H
,使得对任意 u \in H
,(Au,w)=0
. 我们只需取 u=w
,就有 (Aw,w)=a(w,w)=0,
由条件 (ii) 便知 w = 0
,与假设矛盾. 因此 R(A) = H
, A
是双射. 由 Banach 逆算子定理(张恭庆《泛函分析讲义》,定理 2.3.7
)可知 A^{-1}
是 H
上的有界线性算子.\quad\quad
对 H
上任一有界线性泛函 F(v)
,由 Riesz 表示定理,存在唯一的 w \in H
,\|w\| = \|H\|
,使得对任意 v \in H
,都有 F(v)=(w,v).
取 u = A^{-1}w
,则有 \|u\| \leqslant\left\|A^{-1}\right\| \cdot\|w\| \leqslant \frac{1}{\delta}\|F\|,
且 F(v)=(Au,v)=a(u,v).
\quad\quad
下面应用 Lax-Milgram 定理研究一般散度型线性椭圆方程 Dirichlet 问题弱解的存在性. 考虑 \Omega
上一致椭圆方程的 Dirichlet 问题 \begin{aligned}&-\mathrm{div}(\mathbf{A} \nabla u) + \mathbf{b} \cdot \nabla u + cu = f + \mathrm{div} (\mathbf{f}) \text{ in } \Omega,\\&u = 0 \text{ on } \partial \Omega,\end{aligned}
其中 a_{i j}, b_{i}, c \in L^{\infty}(\Omega), f \in L^{2}(\Omega), f^{i} \in L^{2}(\Omega)
, \mathbf{A}
对称,且满足一致椭圆性条件,即存在常数 0< \lambda \leqslant \Lambda
使得对任意 x \in \Omega, \xi \in \mathbb{R}^n
, \lambda|\xi|^{2} \leqslant a_{i j}(x) \xi_i \xi_j \leqslant \Lambda|\xi|^{2},
我们来证明,存在常数 c_0
,使得当 c \geqslant c_0
,对任何 f \in L^{2}(\Omega), f^{i} \in L^{2}(\Omega)
,上述 Dirichlet 问题存在唯一弱解 u \in H_0^1(\Omega)
.\quad\quad
证明\quad
定义双线性型 a(u, v)=\int_{\Omega}\left((\nabla u)^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\nabla v+\mathbf{b} \cdot \nabla u v d x+c u v\right) \mathrm{d} x,
其中 u,v \in H_0^1(\Omega)
. 那么由 a_{i j}, b_{i}, c \in L^{\infty}(\Omega)
及一致椭圆条件,我们有 \begin{aligned}\quad|a(u, v)|\displaystyle \leqslant& \int_{\Omega}(\Lambda|\nabla u| \cdot|\nabla v|+ \max_{i}\|b_i\|_{L^{\infty}(\Omega)} |\nabla u| \cdot|v|+ \|c\|_{L^{\infty}(\Omega)} |u| \cdot|v|) \mathrm{d} x \\\displaystyle \leqslant& C \int_{\Omega}(|\nabla u| \cdot|\nabla v|+|\nabla u| \cdot|v|+|u| \cdot|v|) \mathrm{d} x \\\leqslant& C\left(\|\nabla u\|_{L^{2}(\Omega)} \cdot \|\nabla v\|_{L^{2}(\Omega)}+\|\nabla u\|_{L^{2}(\Omega)} \cdot \| v\|_{L^{2}(\Omega)}+\|u\|_{L^{2}(\Omega)} \cdot\|v\|_{L^{2}(\Omega)}\right) \\\leqslant& C\left(\|u\|_{L^{2}(\Omega)} + \|\nabla u\|_{L^{2}(\Omega)}\right)\left(\|v\|_{L^{2}(\Omega)} + \|\nabla v\|_{L^{2}(\Omega)}\right)\\ \leqslant& C\|u\|_{H^{1}(\Omega)} \cdot\|v\|_{H^{1}(\Omega)},\end{aligned}
这说明 a(u,v)
是有界的. 再次利用一致椭圆条件,对 u \in H_0^1(\Omega)
,我们有 \begin{aligned}a(u, u) &\geqslant \lambda\|\nabla u\|_{L^{2}(\Omega)}^{2}-C \int_{\Omega}|\nabla u| \cdot|u| d x+c_{0}\|u\|_{L^{2}(\Omega)}^{2}\\&\geqslant \lambda \| \nabla u\|_{L^{2}(\Omega)}^{2}-\frac{\varepsilon}{2}\| \nabla u \|_{L^{2}(\Omega)}^{2} -\frac{C^{2}}{2 \varepsilon}\|u\|_{L^{2}(\Omega)}^{2}+c_{0}\|u\|_{L^{2}(\Omega)}^{2}\\ &= \left(\lambda-\frac{\varepsilon}{2}\right)\|\nabla u\|_{L^{2}(\Omega)}^{2}+\left(c_{0}-\frac{C^{2}}{2 \varepsilon}\right)\|u\|_{L^{2}(\Omega)}^{2}.\end{aligned}
\quad\quad
只要取 0<\varepsilon<2 \lambda, c_{0} \geqslant \dfrac{C^{2}}{2 \varepsilon}
,就存在 \delta > 0
使得对任意 u \in H_0^1(\Omega)
,a(u, u) \geqslant \delta\|u\|_{H^{1}(\Omega)}
,这说明 a(u,v)
是强制的. \quad\quad
泛函 F(v)=\int_{\Omega}\left(f v-\mathbf{f} \cdot \nabla v\right) \mathrm{d} x
是 H_0^1(\Omega)
上的有界线性泛函,这是因为\begin{aligned}|F(v)| & = \left|\int_{\Omega}\left(f v-\mathbf{f} \cdot \nabla v\right) \mathrm{d} x\right|\\&\leqslant \int_{\Omega} f^2 \mathrm{d} x \int_{\Omega} v^2 \mathrm{d} x + \int_{\Omega} |\mathbf{f}|^2 \mathrm{d} x \int_{\Omega} |\nabla v|^2 \mathrm{d} x\leqslant C, \ \forall v \in H_0^1(\Omega),\\\left|F(k_1v_1+k_2v_2)\right| & = \left|\int_{\Omega}\left(f (k_1v_1+k_2v_2)-\mathbf{f} \cdot \nabla (k_1v_1+k_2v_2)\right) \mathrm{d} x\right|\\&\leqslant k_1 \int_{\Omega}\left(f v_1-\mathbf{f} \cdot \nabla v_1\right) \mathrm{d} x+ k_2 \int_{\Omega}\left(f v_2-\mathbf{f} \cdot \nabla v_2\right) \mathrm{d} x \\& = k_1 F(v_1) + k_2 F(v_2), \ \forall v_1,v_2 \in H_0^1(\Omega),\end{aligned}
由 Lax-Milgram 定理,存在唯一的 u \in H_0^1(\Omega)
,使得对 v \in H_0^1(\Omega)
,a(u,v)=F(v)
,即 u \in H_0^1(\Omega)
是前述 Dirichlet 问题的唯一弱解.
\quad\quad
在研究非齐次热方程零初边值问题弱解的存在性时,我们可以借助类似 Lax-Milgram 定理的一个定理. 为了证明它,我们首先来证明如下的引理:\quad\quad
设 H
为 Hilbert 空间, V \subset H
为 H
的稠子空间,T
为 V
到 H
的有界线性算子,T^{-1}
存在. 则 T
的共轭算子 T^{*}
的值域 R(T^{*})=H
. \quad\quad
证明\quad
我们只需证明对任意 h \in H
,存在 u \in H
,使得 T^{*}u=h
. 考虑定义在 R(T)=D(T^{-1})
上的线性泛函F(z)=\left(h, T^{-1} z\right), \quad \forall z \in R(T),
它是 R(T)
上的有界线性泛函,因为 T \in \mathcal{L} \left(V,R(T)\right)
是单射,由 Banach 逆算子定理(张恭庆《泛函分析讲义》,定理 2.3.7
)可知 T^{-1} \in \mathcal{L} \left(R(T),V\right)
,从而\displaystyle\|F\|=\sup _{\|z\|=1}|F(z)| \leqslant\|h\| \cdot\left\|T^{-1}\right\|,
且\forall x, y \in R(T),\ F(\alpha x+\beta y)=\left(h, T^{-1}(\alpha x+\beta y)\right)=\alpha F(x)+\beta F(y).
\quad\quad
由有界线性变换定理(张恭庆《泛函分析讲义》,定理 2.3.12
)可知,F
可以延拓到 \overline{R(T)}
上成为有界线性泛函. \overline{R(T)} \subset H
为 Hilbert 空间,由 Riesz 表示定理可知存在唯一的 u \in \overline{R(T)}
,使得(u, z)=F(z)=\left(h, T^{-1} z\right), \quad \forall z \in R(T).
\quad\quad
从而对任意 y \in V
, (u, T y)=(T^*u, y)=(h, y)
,而 V
在 H
中稠密,因此任意 y \in H
, (T^*u, y)=(h, y)
,即 T^*u=h
,这样我们就证明了 R(T^{*})=H
.
\quad\quad
现在就来证明 Lax-Milgram 定理的变体. 其表述为,设 H
为 Hilbert 空间,V \subset H
为 H
的稠子空间,a(u,v)
为 H \times V
上的双线性型,且满足:\quad\quad
(i) 存在常数 M \geqslant 0
,使得对任意 u \in H
,v \in V
,\mathcal{} |a(u, v)| \leqslant M\|u\|_{H} \cdot\| v \|_{V}
;\quad\quad
(ii) 存在常数 \delta > 0
,使得对任意 v \in V
,a(v, v) \geqslant \delta\|v\|_{H}^{2}
,
则对 H
上任一有界线性泛函 F(v)
都存在唯一的 u \in H
,使得对任意的 v \in V
,F(v)=(u,v)
.\quad\quad
证明\quad
a(u,v)
为 H \times V
上的双线性型,那么对任意固定的 v \in V
,由条件 (i) 可知 a(\cdot,v)
为 H
上的有界线性泛函,由 Riesz 表示定理可知对任意 u \in H
,存在唯一的 Av \in H
,使得 a(u,v)=(u,Av)_{H}
. 这里的 A
是从 V
到 H
的有界线性算子,这是因为\|A\|=\sup _{\|v\|_V=1}\|Av\|_H = \sup _{\begin{array}{c}\|u\|_H=1\\\|v\|_V=1\end{array}}(u,Av)_H =\sup _{\begin{array}{c}\|u\|_H=1\\\|v\|_V=1\end{array}}a(u,v)\leqslant M,
且对任意 u \in H
,v_1,v_2 \in V
,\begin{aligned}\left(u, A\left(\alpha v_{1}+\beta v_{2}\right)\right) &=\alpha\left(u, \alpha v_{1}+\beta v_{2}\right)=\alpha a\left(u, v_{1}\right)+\beta a\left(u, v_{2}\right) \\&=\alpha\left(u, A v_{1}\right)+\beta\left(u, A v_{2}\right)=\left(u, \alpha A v_{1}+\beta A v_{2}\right),\end{aligned}
A
是单射,这是因为对任意 v \in V
,由条件 (ii) 和 Cauchy-Schwarz 不等式, \delta\|v\|_{H}^{2} \leqslant a(v,v) = \left|(v,Av)_H\right| \leqslant \|v\|_H \|Av\|_H,
即 \|Av\|_H \geqslant \delta\|v\|_{H}
. 我们只需取 v_1,v_2 \in V
,由 Av_1=Av_2
显然有0 = \|A(v_1-v_2)\|_H \geqslant \delta\|v_1-v_2\|_{H},
注意 F(v)
是有界线性泛函,由 Riesz 表示定理可知对任意 v \in H
,存在唯一的 h \in H
,使得 F(v)=(h,v)_{H}
,而 A^{-1}
存在,由引理的证明过程可知存在唯一的 u \in H
,使得 A^*u =h
,从而对 v \in V
,a(u,v)=(u,Av)_H = (A^*u,v)_H = (h,v)_H = F(v).\quad\quad
这就说明对 H
上任一有界线性泛函 F(v)
,都存在唯一的 u \in H
,使得对任意的 v \in V
,F(v)=a(u,v)
.
\quad\quad
下面给出 Lax-Milgram 定理的变体在研究非齐次热方程零初边值问题弱解的存在性中的应用. 考虑 Q_{T} = \Omega \times (0,T)
上的非齐次热方程零初边值问题 \begin{aligned}&\frac{\partial u}{\partial t} - \Delta u = f(x,t) \text{ in } Q_T,\\&u(x,t) = 0 \text{ on } \partial_p Q_T ,\end{aligned}
我们来证明,若 f \in L^2(Q_T)
,则零初边值问题存在弱解 u \in \overset{\bullet}{W}{}_2^{1,1}(Q_T)
. \quad\quad
证明 \quad
定义双线性型 a\left(u,v\right)=\iint_{Q_{T}}\left(u_{t} v_{t}+\nabla u \cdot \nabla v_{t}\right) \mathrm{e}^{-\theta t} \mathrm{d} x \mathrm{d}t,
其中 u \in \overset{\bullet}{W}{}_2^{1,1}(Q_T)
, v \in V(Q_T)
,我们知道 v \in V(Q_T)
中的内积定义为(u, v)_{V\left(Q_{T}\right)}=(u, v)_{H_{1}\left(Q_{T}\right)}+\left(D u_{t}, D v_{t}\right)_{L^{2}\left(Q_{T}\right)},
那么 \begin{aligned}\|v\|_{V\left(Q_{T}\right)}& = \|v\|_{W_{2}^{1,1}(Q_{T})}+\left\|D v_{t}\right\|_{L^{2}(Q_{T})}\\& = \|v\|_{L^{2}\left(Q_{T}\right)}+\|D v\|_{L^{2}\left(Q_{T}\right)}+\|D_t v\|_{L^{2}\left(Q_{T}\right)}+\|D v_t\|_{L^{2}\left(Q_{T}\right)},\end{aligned}
而我们又知道 \|u\|_{W_{2}^{1, 1}\left(Q_{T}\right)}=\|u\|_{L^{2}(Q_T)}+\|Du\|_{L^{2}(Q_T)}+\|D_tu\|_{L^{2}(Q_T)},
因此\begin{aligned}\displaystyle a(u, v) & = \iint_{Q_T}\left(u_{t} v_{t}+\nabla u \cdot \nabla v_{t}\right) \mathrm{e}^{-\theta t} \mathrm{d} x \mathrm{d} t \\&\leqslant \iint_{Q_T} \left(u_{t} v_{t}+\nabla u \cdot \nabla v_{t}\right) \mathrm{d} x \mathrm{d} t\\&\leqslant\left\|u_{t}\right\|_{L_2(Q_T)}\left\|v_{t}\right\|_{L_2(Q_T)} + \left\|\nabla u\right\|_{L_2(Q_T)}\left\|\nabla v_{t}\right\|_{L_2(Q_T)}\\&\leqslant\|u\|_{W_{2}^{1, 1}\left(Q_{T}\right)} \|v\|_{L^{2}\left(Q_{T}\right)}.\end{aligned}
\quad\quad
这样 a(u,v)
的有界性就得到验证. 对于 v \in V(Q_T)
,注意到 \frac{\partial}{\partial t}\left(|\nabla v|^{2} \mathrm{e}^{-\theta t}\right)=2\mathrm{e}^{-\theta t} \frac{\partial |\nabla v|}{\partial t} \cdot \nabla v - \theta |\nabla v|^{2} \mathrm{e}^{-\theta t} = \mathrm{e}^{-\theta t} \frac{\partial}{\partial t}|\nabla v|^{2} - \theta |\nabla v|^{2} \mathrm{e}^{-\theta t},
我们有\begin{aligned}& \iint_{Q_{T}} \nabla v \cdot \nabla v_{t} \mathrm{e}^{-\theta t} \mathrm{d} x \mathrm{d} t \\=& \frac{1}{2} \iint_{Q_{T}} \mathrm{e}^{-\theta t} \frac{\partial}{\partial t}|\nabla v|^{2} \mathrm{d} x \mathrm{d} t \\=&\frac{1}{2} \iint_{Q_{T}} \frac{\partial}{\partial t}\left(|\nabla v|^{2} \mathrm{e}^{-\theta t}\right) \mathrm{d} x \mathrm{d} t+\frac{\theta}{2} \iint_{Q_{T}}|\nabla v|^{2} \mathrm{e}^{-\theta t} \mathrm{d} x \mathrm{d} t\\=&\left.\frac{\mathrm{e}^{-\theta T}}{2} \int_{\Omega}|\nabla v|^{2}\right|_{t=T} \mathrm{d} x-\left.\frac{1}{2} \int_{\Omega}|\nabla v|^{2}\right|_{t=0} \mathrm{d} x +\frac{\theta}{2} \iint_{Q_{T}}|\nabla v|^{2} \mathrm{e}^{-\theta t} \mathrm{d} x \mathrm{d} t .\end{aligned}
\quad\quad
由于 v \in V(Q_T) \subset \overset{\bullet}{W}{}_2^{1,1}(Q_T)
,有 \left.\gamma v\right|_{\partial_{l} Q_{T}}=0
,因此上式右侧第二项为零,而第一项非负,因此又有 \iint_{Q_{T}} \nabla v \cdot \nabla v_{t} \mathrm{e}^{-\theta t} \mathrm{d} x \mathrm{d} t \geqslant \frac{\theta}{2} \iint_{Q_{T}}|\nabla v|^{2} \mathrm{e}^{-\theta t} \mathrm{d} x \mathrm{d} t \geqslant \frac{\theta \mathrm{e}^{-\theta T}}{2} \iint_{Q_{T}}|\nabla v|^{2} \mathrm{d} x \mathrm{d}t.
\quad\quad
利用 Poincaré 不等式, \iint_{Q_{T}} \nabla v \cdot \nabla v_{t} \mathrm{e}^{-\theta t} \mathrm{d} x \mathrm{d} t \geqslant \frac{\theta \mathrm{e}^{-\theta T}}{4} \iint_{Q_{T}}|\nabla v|^{2} \mathrm{d} x \mathrm{d} t +\frac{\theta \mathrm{e}^{-\theta T}}{4 \mu} \iint_{Q_{T}} v^{2} \mathrm{d} x \mathrm{d} t,
取 \delta=\min \left\{\mathrm{e}^{-\theta T}, \dfrac{\theta \mathrm{e}^{-\theta T}}{4}, \dfrac{\theta \mathrm{e}^{-\theta T}}{4 \mu}\right\}
,则对任意的 v \in V
,都有 \begin{aligned}a(v, v) & = \iint_{Q_T}\left( v_{t}^2+\nabla v \cdot \nabla v_{t}\right) \mathrm{e}^{-\theta t} \mathrm{d} x \mathrm{d} t\\& \geqslant \mathrm{e}^{-\theta T} \iint_{Q_T} v_{t}^2\mathrm{d} x \mathrm{d} t + \frac{\theta \mathrm{e}^{-\theta T}}{4} \iint_{Q_{T}}|\nabla v|^{2} \mathrm{d} x \mathrm{d} t +\frac{\theta \mathrm{e}^{-\theta T}}{4 \mu} \iint_{Q_{T}} v^{2} \mathrm{d} x \mathrm{d} t\\& \geqslant \delta \|v\|_{W_{2}^{1,1}\left(Q_{T}\right)}^{2}.\end{aligned}
\quad\quad
这样 a(u,v)
的强制性就得到验证. 再由\left|\iint_{Q_{T}} f v_{t} \mathrm{e}^{-\theta t} \mathrm{d} x \mathrm{d} t\right| \leqslant\left|\iint_{Q_{T}} f v_{t} \mathrm{d} x \mathrm{d} t\right| \leqslant\|f\|_{L^2\left(Q_{T}\right)}\left\|v_{t}\right\|_{L^2\left(Q_{T}\right)} \leqslant\|f\|_{L^2\left(Q_{T}\right)}\left\|v\right\|_{{W}{}_2^{1,1}(Q_T)},
这说明 \iint_{Q_{T}} f v_{t} \mathrm{e}^{-\theta t} \mathrm{d} x \mathrm{d} t
对 v
是 \overset{\bullet}{W}{}_2^{1,1}(Q_T)
上的有界线性泛函. 而 V(Q_T)
是 \overset{\bullet}{W}{}_2^{1,1}(Q_T)
的稠子空间,a(u,v)
是 \overset{\bullet}{W}{}_2^{1,1}(Q_T) \times V(Q_T)
上的有界强制的双线性型,由 Lax-Milgram 定理的变体可知存在唯一的 u \in \overset{\bullet}{W}{}_2^{1,1}(Q_T)
,使得对任意 v \in V(Q_T)
,都有 a(u,v)=\iint_{Q_{T}}\left(u_{t} v_{t} \mathrm{e}^{-\theta t}+\nabla u \cdot \nabla v_{t} \mathrm{e}^{-\theta t}\right) \mathrm{d} x \mathrm{d} t=\iint_{Q_{T}} f v_{t} \mathrm{e}^{-\theta t} \mathrm{d} x \mathrm{d} t,
即 u
就是前述非齐次热方程零初边值问题的弱解.
\quad\quad
与一般线性椭圆方程类似地,我们用 Lax-Milgram 定理的变体来研究一般线性抛物方程零初边值问题弱解的存在性. 考虑 Q_{T} = \Omega \times (0,T)
上的非齐次热方程零初边值问题 \begin{aligned}&\dfrac{\partial u}{\partial t}-\mathrm{div}(\mathbf{A} \nabla u) + \mathbf{b} \cdot \nabla u + cu = f \text{ in } Q_T,\\&u(x,t) = 0 \text{ on } \partial_p Q_T ,\end{aligned}
其中 a_{i j}, b_{i}, c \in L^{\infty}(Q_T), f \in L^{2}(Q_T)
, \mathbf{A}
对称,且满足一致抛物性条件,即存在常数 0< \lambda \leqslant \Lambda
使得对任意 (x,t) \in Q_T, \xi \in \mathbb{R}^n
, \lambda|\xi|^{2} \leqslant a_{i j}(x,t) \xi_i \xi_j \leqslant \Lambda|\xi|^{2},
我们来证明,若 \mathbf{A}
仅依赖于空间变量 x
,则零初边值问题存在弱解 u \in \overset{\bullet}{W}{}_2^{1,1}(Q_T)
. \quad\quad
证明\quad
定义双线性型 a\left(u,v\right)=\iint_{Q_{T}}\left(u_{t} v_{t}+(\nabla u)^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\nabla v_t+\mathbf{b} \cdot \nabla u v_t d x+c u v_t\right) \mathrm{e}^{-\theta t} \mathrm{d} x \mathrm{d}t,
其中 u \in \overset{\bullet}{W}{}_2^{1,1}(Q_T)
, v \in V(Q_T)
,a(u,v)
的有界性验证如下:\begin{aligned}\quad|a(u, v)|\displaystyle \leqslant& \int_{Q_T}(|u_t||v_t|+\Lambda|\nabla u| \cdot|\nabla v_t|+ \max_{i}\|b\|_{L^{\infty}(Q_T)} |\nabla u| \cdot|v_t|+ \|c\|_{L^{\infty}(Q_T)} |u| \cdot|v_t|) \mathrm{d} x \\\displaystyle \leqslant& C \int_{Q_T}\left(|u_t||v_t|+|\nabla u| \cdot|\nabla v_t|+|\nabla u| \cdot|v_t|+|u| \cdot|v_t|\right) \mathrm{d} x \\\leqslant& C\left(\|u_t\|_{L^{2}(Q_T)} \cdot \|v_t\|_{L^{2}(Q_T)}+\|\nabla u\|_{L^{2}(Q_T)} \cdot \|\nabla v_t \|_{L^{2}(Q_T)}\right. \\ &+ \left. \|\nabla u\|_{L^{2}(Q_T)} \cdot \| v_t\|_{L^{2}(Q_T)}+\|u\|_{L^{2}(Q_T)} \cdot\|v_t\|_{L^{2}(Q_T)}\right) \\\leqslant& C\left(\|u\|_{L^{2}(Q_T)} + \|\nabla u\|_{L^{2}(Q_T)}+\|u_t\|_{L^{2}(Q_T)}\right)\\&\left(\|v\|_{L^{2}(Q_T)} + \|v_t\|_{L^{2}(Q_T)}+\|\nabla v\|_{L^{2}(Q_T)} + \|\nabla v_t\|_{L^{2}(Q_T)}\right)\\ \leqslant& C\|u\|_{W_{2}^{1,1}(Q_T)} \cdot\|v\|_{V(Q_T)}.\end{aligned}
\quad\quad
下面分别估计 \begin{aligned}\left(v,v\right) =& \iint_{Q_{T}}\left( v_{t}^2+(\nabla v)^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\nabla v_t+\mathbf{b} \cdot \nabla v v_t +c v v_t\right) \mathrm{e}^{-\theta t} \mathrm{d} x \mathrm{d}t \\ =& \iint_{Q_{T}} v_{t}^2 \mathrm{e}^{-\theta t} \mathrm{d} x \mathrm{d}t + \iint_{Q_{T}} (\nabla v)^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\nabla v_t \mathrm{e}^{-\theta t} \mathrm{d} x \mathrm{d}t \\&+ \iint_{Q_{T}} \mathbf{b} \cdot \nabla v v_t \mathrm{e}^{-\theta t} \mathrm{d} x \mathrm{d}t + \iint_{Q_{T}} c v v_t \mathrm{e}^{-\theta t} \mathrm{d} x \mathrm{d}t \end{aligned}
的各项. 注意 a_{ij}
与 t
无关,利用一致抛物条件和 Poincaré 不等式,对 v \in V(Q_T)
,首先有 \begin{aligned}&\iint_{Q_{T}} (\nabla v)^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\nabla v_t \mathrm{e}^{-\theta t} \mathrm{d} x \mathrm{d}t\\=& \frac{1}{2} \iint_{Q_{T}} \frac{\partial}{\partial t}\left((\nabla v)^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\nabla v\right) \mathrm{e}^{-\theta t} \mathrm{d} x \mathrm{d}t \\=& \frac{1}{2} \iint_{Q_{T}} \frac{\partial}{\partial t}\left((\nabla v)^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\nabla v \mathrm{e}^{-\theta t}\right) \mathrm{d} x \mathrm{d}t +\frac{\theta}{2} \iint_{Q_{T}} (\nabla v)^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\nabla v \mathrm{e}^{-\theta t} \mathrm{d} x \mathrm{d}t \\=&\left.\frac{\mathrm{e}^{-\theta T}}{2} \int_{\Omega} (\nabla v)^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\nabla v\right|_{t=T} \mathrm{d} x + \frac{\theta}{2} \iint_{Q_{T}} (\nabla v)^{\mathrm{T}}\mathbf{A} \nabla v \mathrm{e}^{-\theta t} \mathrm{d} x \mathrm{d}t \\\geqslant &\left.\frac{\lambda \mathrm{e}^{-\theta T}}{2} \int_{\Omega}|\nabla v |^{2}\right|_{t=T} \mathrm{d} x+\frac{\theta \lambda}{2} \iint_{Q_{T}}|\nabla v|^{2} \mathrm{e}^{-\theta t} \mathrm{d} x \mathrm{d}t \\\geqslant & \frac{\theta \lambda}{2} \iint_{Q_{T}}|\nabla v|^{2} \mathrm{e}^{-\theta t} \mathrm{d} x \mathrm{d}t \\\geqslant & \frac{\theta \lambda}{4} \iint_{Q_{T}}|\nabla v|^{2} \mathrm{e}^{-\theta t} \mathrm{d} x \mathrm{d}t + \frac{\theta \lambda}{4 \mu} \iint_{Q_{T}}v^{2} \mathrm{e}^{-\theta t} \mathrm{d} x \mathrm{d}t .\end{aligned}
后两项的估计如下:\left|\iint_{Q_{T}}\mathbf{b} \cdot \nabla vv_{t} \mathrm{e}^{-\theta t} \mathrm{d} x \mathrm{d} t\right| \leqslant \varepsilon \iint_{Q_{T}} v_{t}^{2} \mathrm{e}^{-\theta t} \mathrm{d} x \mathrm{d} t+\frac{1}{\varepsilon} \max_{i}\|b_i\|_{L^{\infty}(Q_T)} \iint_{Q_{T}}|\nabla v|^{2} \mathrm{e}^{-\theta t} \mathrm{d} x \mathrm{d} t,
\left|\iint_{Q_{T}} c v v_{t} \mathrm{e}^{-\theta t} \mathrm{d} x \mathrm{d} t\right| \leqslant \varepsilon \iint_{Q_{T}} v_{t}^{2} \mathrm{e}^{-\theta t} \mathrm{d} x \mathrm{d} t+\frac{1}{\varepsilon} \|c\|_{L^{\infty}(Q_T)} \iint_{Q_{T}} v^{2} \mathrm{e}^{-\theta t} \mathrm{d} x \mathrm{d} t,
最终就有 \begin{aligned}a(v, v) \geqslant& (1-2 \varepsilon) \iint_{Q_{T}} v_{t}^{2} \mathrm{e}^{-\theta t} \mathrm{d} x \mathrm{d} t \\ &+\left(\frac{\theta \lambda}{4}-\frac{C}{\varepsilon}\right) \iint_{Q_{T}}|\nabla v|^{2} \mathrm{e}^{-\theta t} \mathrm{d} x \mathrm{d} t +\left(\frac{\theta \lambda}{4 \mu}-\frac{C}{\varepsilon}\right) \int_{Q_{T}} v^{2} \mathrm{e}^{-\theta t} \mathrm{d} x \mathrm{d} t,\end{aligned}
只要取 0<\varepsilon<\dfrac{1}{2}, \theta > \max \left\{\dfrac{4C}{\lambda \varepsilon}, \dfrac{4 \mu C}{\lambda \varepsilon}\right\}
,就存在 \delta > 0
,使得对任意 v \in V(Q_T)
,a(v, v) \geqslant \delta\|v\|_{V(Q_T)}
,这说明了 a(u,v)
是强制的. 那么与上一个证明完全类似地,由 Lax-Milgram 定理的变体可知 u
就是前述零初边值问题的弱解.