\quad\quad设有界区域 \Omega \subset \mathbb{R}^n ，边界 \partial \Omega 分片光滑，在区域 Q_{T} = \Omega \times (0,T) 上考虑如下非齐次热方程的初边值问题 \begin{aligned}&\frac{\partial u}{\partial t} - \Delta u = f(x,t) \text{ in } \Omega \times (0,T),\\&u(x,t) = 0 \text{ on } \partial \Omega \times (0,T),\\&u(x,0) = u_0(x) \text{ in } \Omega,\end{aligned} \quad\quad定义 \partial_l Q_{T} = \partial \Omega \times (0,T) 为 Q_{T} 的侧边界， \partial_p Q_{T} = \partial_l Q_{T} \cup \left\{(x,t);x \in \overline{\Omega},t=0\right\} 为 Q_{T} 的抛物边界. 当 u_0(x) \equiv 0 时，就成为零初边值条件 \left.u(x,t)\right|_{\partial_l Q_{T}} = 0. \quad\quad我们为对空间变量求至多 2k 次弱导数或对时间变量求至多 k（ k 为非负整数）次弱导数后仍属于 L^p(Q_T)（ 1 \leqslant p < + \infty ）的函数集合 \left \{ u;D^{\alpha}D^{r}_{t}u \in L^p(Q_T) , \forall \alpha, r\ s.t.\ |\alpha|+2r \leqslant 2k\right \} 赋以范数 \|u\|_{W_{P}^{2 k, k}}\left(Q_{T}\right)=\sum_{|\alpha|+2 r \leqslant 2 k}\left\|D^{\alpha} D_{t}^{r} u\right\|_{L^{p}}\left(Q_{T}\right),得到的赋范线性空间记作 W_p^{2k,k}(Q_T) ，另外，设 m,k 为 0 或 1 ，为集合 \left \{ u;D^{\alpha}u,D^{r}_{t}u \in L^p(Q_T) , \forall \alpha, r\ s.t.\ |\alpha|\leqslant m ,r \leqslant k\right\} 赋以范数 \|u\|_{W_{p}^{m, k}}\left(Q_{T}\right)=\sum_{|\alpha| \leqslant m}\left\|D^{\alpha} u\right\|_{L^{p}\left(Q_{T}\right)}+\sum_{r \leqslant k}\left\|D_{t}^{r} u\right\|_{L^{p}\left(Q_{T}\right)}, 得到的赋范线性空间记作 W_p^{m,k}(Q_T) . W_p^{2k,k}(Q_T) 和 W_p^{m,k}(Q_T) 都称作 t 向异性 Sobolev 空间，他们是 Banach 空间. 举例如下：\begin{aligned}\|u\|_{W_{p}^{0, 0}}\left(Q_{T}\right)=&\|u\|_{L^{p}(Q_T)},\\\|u\|_{W_{p}^{1, 0}}\left(Q_{T}\right)=&\|u\|_{L^{p}(Q_T)}+\|Du\|_{L^{p}(Q_T)},\\\|u\|_{W_{p}^{0, 1}}\left(Q_{T}\right)=&\|u\|_{L^{p}(Q_T)}+\|D_tu\|_{L^{p}(Q_T)},\\\|u\|_{W_{p}^{1, 1}}\left(Q_{T}\right)=&\|u\|_{L^{p}(Q_T)}+\|Du\|_{L^{p}(Q_T)}+\|D_tu\|_{L^{p}(Q_T)},\\\|u\|_{W_{p}^{2, 1}}\left(Q_{T}\right)=&\|u\|_{L^{p}(Q_T)}+\|Du\|_{L^{p}(Q_T)}+\|D^2u\|_{L^{p}(Q_T)}+\|D_tu\|_{L^{p}(Q_T)},\\\|u\|_{W_{p}^{4, 2}}\left(Q_{T}\right)=&\|u\|_{L^{p}(Q_T)}+\|Du\|_{L^{p}(Q_T)}+\|D^2u\|_{L^{p}(Q_T)}+\|D^3u\|_{L^{p}(Q_T)}+\|D^4u\|_{L^{p}(Q_T)}\\&+\|D_tu\|_{L^{p}(Q_T)}+\|DD_tu\|_{L^{p}(Q_T)}+\|D^2D_tu\|_{L^{p}(Q_T)}+\|D_t^2u\|_{L^{p}(Q_T)},\end{aligned} \quad\quad用 \overset{\circ}{C}{}^{\infty}\left(\overline{Q}_{T}\right) 表示在侧边界 \partial_l Q_{T} 附近为 0 而在 \overline{Q}_{T} 上无穷次可微的函数构成的集合，用 \overset{\bullet}{C}{}^{\infty}\left(\overline{Q}_{T}\right) 表示在抛物边界 \partial_p Q_{T} 附近为 0 而在 \overline{Q}_{T} 上无穷次可微的函数构成的集合，即\begin{aligned}\overset{\circ}{C}{}^{\infty}\left(\overline{Q}_{T}\right) & = \left\{u \in C^{\infty}(\overline{Q}_{T}),\mathrm{dist}\left(\mathrm{supp}(\overline{Q}_{T}),\partial_l Q_{T}\right)>0 \right\},\\\overset{\bullet}{C}{}^{\infty}\left(\overline{Q}_{T}\right) & = \left\{u \in C^{\infty}(\overline{Q}_{T}),\mathrm{dist}\left(\mathrm{supp}(\overline{Q}_{T}),\partial_p Q_{T}\right)>0 \right\},\\\end{aligned} \quad\quad与 Sobolev 空间 W_0^{k,p}(\Omega) 类似地，我们将 W_p^{2k,k}(Q_T) 和 W_p^{m,k}(Q_T) 在 \overset{\circ}{C}{}^{\infty}\left(\overline{Q}_{T}\right) 中的闭包记作 \overset{\circ}{W}{}_p^{2k,k}(Q_T) 和 \overset{\circ}{W}{}_p^{m,k}(Q_T)；将 W_p^{2k,k}(Q_T) 和 W_p^{m,k}(Q_T) 在 \overset{\bullet}C{}^{\infty}\left(\overline{Q}_{T}\right) 中的闭包记作 \overset{\bullet}{W}{}_p^{2k,k}(Q_T) 和 \overset{\bullet}{W}{}_p^{m,k}(Q_T).\quad\quad与 Poisson 方程的弱解定义类似地，设 u \in \overset{\circ}{W}{}_2^{1,1}(Q_T)，如果对于任意 \varphi \in \overset{\circ}{C}{}^{\infty}\left(\overline{Q}_{T}\right)，均有 \iint_{Q_{T}}(u_t\varphi+\nabla u \cdot \nabla \varphi) \mathrm{d}x\mathrm{d}t=\iint_{Q_{T}} f \varphi \mathrm{d}x\mathrm{d}t, 且 \gamma u(x,0) = u_0(x) ，则称 u 为非齐次热方程初边值问题的弱解. 由于 \overset{\circ}{C}{}^{\infty}\left(\overline{Q}_{T}\right) 在 \overset{\circ}{W}{}_2^{1,0}(Q_T) 中稠密，上式中检验函数 \varphi可以在 \overset{\circ}{W}{}_2^{1,0}(Q_T)中任取. \quad\quad注意到 \int_{0}^{t} \varphi\left(x,s\right) \mathrm{d} s \in \overset{\circ}{C}{}^{\infty}\left(\overline{Q}_{T}\right)，上面的积分恒等式等价于 \iint_{Q_{T}}(u_t\varphi_t+\nabla u \cdot \nabla \varphi_t) \mathrm{d}x\mathrm{d}t=\iint_{Q_{T}} f \varphi_t \mathrm{d}x\mathrm{d}t, 再注意到 \varphi(x, t) \mathrm{e}^{\theta t}-\theta \int_{0}^{t} \varphi(x, s) \mathrm{e}^{\theta s} \mathrm{d} s \in \overset{\circ}{C}{}^{\infty}\left(\overline{Q}_{T}\right)，又等价于 \iint_{Q_{T}}\left(u_{t} \varphi_{t} \mathrm{e}^{-\theta t}+\nabla u \cdot \nabla \varphi_{t} \mathrm{e}^{-\theta t}\right) \mathrm{d} x \mathrm{d} t=\iint_{Q_{T}} f \varphi_{t} \mathrm{e}^{-\theta t} \mathrm{d} x \mathrm{d} t, 我们记 V\left(Q_{T}\right)=\left\{u \in \overset{\bullet}{W}{}_2^{1,1}\left(Q_{T}\right) ; D u_{t} \in L^{2}\left(Q_{T}, \mathbb{R}^{n}\right)\right\}，由于 \overset{\circ}{C}{}^{\infty}\left(\overline{Q}_{T}\right) 在 \overset{\circ}{W}{}_2^{1,1}(Q_T) 中稠密，而 V\left(Q_{T}\right) \subset \overset{\circ}{W}{}_2^{1,1}(Q_T) ，因此上面两个积分等式中检验函数 \varphi 可以在 V\left(Q_{T}\right) 中任取. 事实上，V\left(Q_{T}\right) 是 Hilbert 空间，其中的内积定义为 (u, v)_{V\left(Q_{T}\right)}=(u, v)_{H_{1}\left(Q_{T}\right)}+\left(D u_{t}, D v_{t}\right)_{L^{2}\left(Q_{T}\right)}.